Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài Tập 1 Trang 23 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. \(\)\(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\) trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b. \(y = x^4 – 3x^2 + 2\) trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
c. \(y = \frac{2 – x}{1 – x}\) trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
d. \(y = \sqrt{5 – 4x}\) trên đoạn [-1; 1]
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 23 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\) trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([a; b]\) ta làm như sau:
– Tìm các điểm \(x_1; x_2; x_3; …; x_n\) thuộc đoạn \([a; b]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'(x) = 0\) hoặc không có đạo hàm.
– Tính \(f(x_1); f(x_2); f(x_3);….; f(x_n) và f(a); f(b)\)
– So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y = f(x)\) trên \([a; b]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y = f(x)\) trên \([a; b]\).
\(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [a; b]}f(x) = max{f(x_1); f(x_2);….; f(x_m); f(a); f(b)}\)
\(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [a; b]}f(x) = min{f(x_1); f(x_2);…; f(x_m); f(a); f(b)}\)
Giải: \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\)
– Xét \(D = [-3; 4]\) có
\(y’ = 3x^2 – 6x – 9 ⇒ y’ = 0 ⇔ 3x^2 – 6x – 9 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 3 ∈ D\\ x = -1 ∈ D \end{matrix}\)
Ta có: \(y(-4) = -41; y(1) = 40; y(3) = 8; y(4) = 15\)
Vậy \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [-4; 4]}y = 40\) khi \(x = -1\) và Vậy \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-4; 4]}y = -41\) khi \(x = -4\).
– Xét D = [0; 5] có:
\(y’ = 3x^2 – 6x – 9 ⇒ y’ = 0 ⇔ 3x^2 – 6x – 9 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 3 ∈ D\\ x = -1 ∈ D \end{matrix}\)
Ta có: \(y(0) = 35, y(3) = 8, y(5) = 40\)
Vậy \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [0; 5]}y = 40\) khi \(x = 5\) và \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [0; 5]}y = 8\) khi \(x = 3\)
Câu b: \(y = x^4 – 3x^2 + 2\) trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
\(y = x^4 – 3x^2 + 2\)
Ta có: \(y’ = 4x^3 – 6x ⇒ y’ = 0 ⇔ 4x^3 – 6x = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \\x = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \end{matrix}\)
– Xét D = [0; 3] có: \(x = -\frac{\sqrt{6}}{2} ∉ D.\)
Có: \(y(0) = 2; y(3) = 56; y(\frac{\sqrt{6}}{2}) = -\frac{1}{4}\)
Vậy \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [0; 3]}y = -\frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [0; 3]}y = 56\) khi \(x = 3.\)
– Xét \(D = [2; 5]\) ta thấy \(x = 0; x = ±\frac{\sqrt{6}}{2} ∉ D.\)
Có \(y(2) = 6; y(5) = 552\)
\(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [2; 5]}y = 6\) khi \(x = 2\) và \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [2; 5]}y = 552\) khi \(x = 5\).
Câu c: \(y = \frac{2 – x}{1 – x}\) trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
\(y = -\frac{2 – x}{1 – x} = \frac{x – 2}{x – 1}\). Tập xác định: R\{1}.
Ta có: \(y’ = \frac{1.(-1) – 1.(-2)}{(x – 1)^2} = \frac{1}{(x – 1)^2} > 0; ∀x ≠ 1.\)
– Với D = [2; 4] có: \(y(2) = 0; y(4) = \frac{2}{3}\)
Vậy \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [2; 4]}y = 0\) khi \(x = 2\) và \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [2; 4]}y = \frac{2}{3}\) khi \(x = 4\).
– Với D = [-3; -2] có: \(y(-3) = \frac{5}{4}; y(-2) = \frac{4}{3}\)
Vậy \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-3; -2]}y = \frac{5}{4}\) khi \(x = -3\) và \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-3; -2]}y = \frac{4}{2}\) khi \(x = -2\).
Câu d: \(y = \sqrt{5 – 4x}\) trên đoạn [-1; 1]
\(y = \sqrt{5 – 4x}\). Tập xác định: \((-∞; \frac{5}{4}]\)
Xét tập \(D = [-1; 2]\)
Có: \(y’ = \frac{(5 – 4x)’}{2\sqrt{5 – 4x}} = \frac{-2}{\sqrt{5 – 4x}} < 0; ∀x ∈ [-1; 1]\)
Ta có: \(y(-1) = 3; y(1) = 1\)
Vậy \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-1; 1]}y = 1\) khi \(x = 1\) và \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [-1; 1]}y = 3\) khi \(x = -1\)
Câu a: \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\) trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
Xét hàm số \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\)
Ta có tập xác định D = R
Hàm số liên tục trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.
Ta có: \(y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3)\)
Xét trên các đoạn ta có kết quả như sau:
Trên đoạn [-4; 4]:
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 3 ∈ [-4; 4] \\ x = -1 ∈ [-4; 4] \end{matrix}\)
Ta có: \(y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8.\)
Vậy ta có GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [-4; 4]}y = y(-1) = 40\).
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-4; 4]}y = y(-4) = -41\)
Trên đoạn [0; 5]:
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 3 ∈ [0; 5]\\ x = -1 ∉ [0; 5] \end{matrix}\)
Ta có: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8.
Vậy ta có GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [0; 5]}y = y(5) = 40\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [0; 5]}y = y(3) = 8\)
Câu b: \(y = x^4 – 3x^2 + 2\) trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
Xét hàm số \(y = x^4 – 3x^2 + 2\)
Ta có tập xác định D = R
Hàm số liên tục trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] nên có GTLN và GTNN trên các đoạn này:
Ta có đạo hàm: \(y’ = 4x^3 – 6x\).
Trên đoạn [0; 3]:
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\sqrt{\frac{3}{2}} ∉ [0; 3]\\ x = 0 ∈ [0; 3] \\x = \sqrt{\frac{3}{2}} ∈ [0; 3] \end{matrix}\)
Ta có: \(y(0) = 2; y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = -\frac{1}{4}; y(3) = 56\)
Như vậy GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị lớn nhất của hàm số:\(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [0; 3]}y = y(3) = 56.\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [0; 3]}y = y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = -\frac{1}{4}\)
Trên đoạn [2; 5]:
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\sqrt{\frac{3}{2}} ∉ [2; 5] \\ x = 0 ∉ [2; 5] \\ x = \sqrt{\frac{3}{2}} ∉ [0; 3] \end{matrix}\)
Ta có: \(y(2) = 6; y(5) = 552\)
Như vậy GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [2; 5]}y = y(6) = 552\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [2; 5]}y = y(2) = 6\)
Câu c: \(y = \frac{2 – x}{1 – x}\) trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
Xét hàm số \(y = \frac{(2 – x)}{(1 – x)}\)
Ta có hàm số với tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2] thuộc D, do đó hàm số có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.
Ta có: \(y = \frac{x – 2}{x – 1}; y’ = \frac{1}{(x – 1)^2} > 0; ∀x ≠ 1\)
Trên đoạn \([2; 4]: y(2) = 0; y(4) = \frac{2}{3}.\)
Như vậy GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [2; 4]}y = y(2) = 0\)
- Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [2; 4]}y = y(4) = \frac{2}{3}\)
Trên đoạn \([-3; -2]: y(-3) = \frac{5}{4}; y(-2) = \frac{4}{3}.\)
Như vậy GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-3; -2]}y = y(-3) = \frac{5}{4}\)
- Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [-3; -2]}y = y(-2) = \frac{4}{3}\)
Câu d: \(y = \sqrt{5 – 4x}\) trên đoạn [-1; 1]
Xét hàm số \(y = \sqrt{(5 – 4x)}\)
Ta có hàm số với tập xác định \(D = (-∞; \frac{5}{4}]\) và chỉ liên tục trên đoạn [-1; 1], do đó có GTLN, GTNN trên một đoạn duy nhất [-1; 1].
Ta có: \(y’ = -\frac{2}{\sqrt{5 – 4x}} < 0, ∀x ∈ [-1; 1]\)
Trên đoạn \([-1; 1]: y(-1) = 3; y(1) = 1\).
Vậy ta có GTLN và GTNN như sau:
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [-1; 1]}y = y(-1) = 3\)
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [-1; 1]}y = y(1) = 1\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 23 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời