Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài Tập 2 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
– Chu vi hinh chữ nhật: \(P = 2(x + y)\)
– Diện tích hình chữ nhật: \(S = xy\).
Lập hàm số diện tích \(S(x)\), xét hàm suy ra GTLN.
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x; y(cm), (0 < x; y < 8)\)
Chu vi hình chữ nhật là 16cm.
Kh đó: \(2(x +y) = 16 ⇔ x + y = 8 ⇔ x = 8 – x\)
⇒ Diện tích: \(S = xy = x(8 – x) = 8x – x^2\)
Xét hàm số: \(S(x) = 8x – x^2\) trên \((0; 8)\) ta có:
\(S'(x) = 8 – 2x ⇒ S'(x) = 0 ⇔ x = 4\)
Ta có: \(S(0) = 0, S(4) = 16; S(8) = 0\)
\(⇒ \mathop {\max}\limits_{(0; 8)}S(x) = 16\) khi \(x = 4\)
\(⇒ y = 8 – x = 4 ™\)
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh là 4cm.
Cách khác
Ta có: \(S(x) = 8x – x^2 = 16 – (x^2 – 8x + 16)\)
\(= 16 – (x – 4)^2 ≤ 16\)
\(⇒ \mathop {\max}\limits_{(0; 8)}S(x) = 16\) khi \(x = 4\)
– Cách 1: Có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10
– Cách 2: Áp dụng đạo hàm để tìm GTLN và GTNN như bài vừa học.
Đối với cách 1 ta có lời giải như sau:
Kí hiệu x, y thứ tự tương đương là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \((0 < x, y < 16)\).
Khi đó \(x + y = 8\).
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\)\(8 = x + y ≥ 2\sqrt{x.y} ⇒ xy ≤ 16.\)
\(xy = 16 ⇔ x = y = 4.\)
Từ đó ta có diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng \(16 cm^2\) khi \(x = y = 4(cm)\), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Đối với cách 2 ta có lời giải như sau:
Gọi x, y lần lượt là chiều dài và rộng của hình chữ nhật (8 > x > 0; 8 > y > 0).
Khi đó chu vi là: \(p = 2(x + y) = 16 ⇔ x + y = 8 ⇔ y= 8 – x\).
Như vậy ta có diện tích của hình chữ nhật là \(S = x.y = x(8 – x) ⇔ S = -x^2 + 8x\).
Xét hàm số: \(S(x) = -x^2 + 8x\) trên khoảng (0, 8) ta có:
\(S’ = -2x + 8; S’ = 0 ⇔ x = 4\)
Bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ở trên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 4 khi đó maxS = 16.
Với x = 4 suy ra y = 4.
Vậy cho nên hình vuông có cạnh bằng 4 là hình có diện tích lớn nhất.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời