Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài Tập 3 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(\)\(48m^2\), hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
– Chu vi của hình chữ nhật đó là: \(P = 2(x + y)\)
– Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S = xy\).
Lập hàm số P(x), xét hàm suy ra GTNN.
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \(x; y(m), (x; y > 0)\)
Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là \(48m^2 ⇒ xy = 48 ⇔ y = \frac{48}{x}\)
⇒ Chu vi hình chữ nhật đó là: \(P = 2(x + y) = 2(x + \frac{48}{x})\)
Xét hàm số \(P(x) = 2(x + \frac{48}{x})\) trên (0; +∞) ta có:
\(P'(x) = 2(1 – \frac{48}{x^2})\)
\(= 2(\frac{x^2 – 48}{x^2})\)
\(⇒ P'(x) = 0 ⇔ x^2 – 48 = 0\)
\(⇔ x^2 = 48 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 4\sqrt{3} ∈ (0; +∞)\\ x = -4\sqrt{3} ∉ (0; +∞) \end{matrix}\)
Ta có: \(P(4\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}\)
Bảng biến thiên trên \((0; +∞)\)
\(⇒ \mathop {\min}\limits_{x → +∞}P(x) = P(4\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}\)
Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh \(4\sqrt{3}m\).
Áp dụng lý thuyết đã học cô-si ta có cách 1 như sau:
Ta gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \((x, y > 0)\).
Khi đó xy = 48.
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(x + y ≥ 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{48} = 8\sqrt{3}\)
\(x + y = 8\sqrt{3} ⇔ x = y = 4\sqrt{3}\). Vậy ta có chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng \(2(x + y) = 16\sqrt{3}(m)\) khi \(x = y = 4\sqrt{3}(m)\) vậy hình chữ nhật là hình vuông.
Cách 2: Ta áp dụng lý thuyết đã học ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Gọi x,y tương ứng là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x > 0, y > 0)
Khi đó ta có:
Vậy chu vi của hình chữ nhật là \(p = 2(x + y) ⇔ p = 2x + \frac{96}{x}.\)
Xét hàm số \(p(x) = 2x + \frac{96}{x}.\) trên \(0; +∞\)
\(p'(x) = 2 – \frac{96}{x^2}; p'(x) = 0 ⇔ x = 4\sqrt{3}\) (do x > 0).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ở trên ta có: \(min p = 16\sqrt{3}\) khi \(x = 4\sqrt{3}\).
Với \(x = 4\sqrt{3} ⇒ y = \frac{48}{x} = 4\sqrt{3}\).
Vậy hình vuông có cạnh \(4\sqrt{3}\) là hình có chu vi nhỏ nhất theo yêu cầu bài toán.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời