Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài Tập 4 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a. \(\)\(y = \frac{4}{1 + x^2}\)
b. \(y = 4x^3 – 3x^4\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = \frac{4}{1 + x^2}\)
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:
– Tìm các điểm \(x_1; x_2; x_3; … x_n\) thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'(x) = 0\) hoặc không có đạo hàm.
– Tính \(f(x_1); f(x_2); f(x_3);…; f(x_n)\) và \(f(a); f(b)\)
– So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y = f(x)\) trên \([a; b]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y = f(x)\) trên \([a; b]\).
\(\mathop {\max}\limits_{x ∈ [a; b]}f(x) = max{f(x_1); f(x_2);….; f(x_m); f(a); f(b)}\)
\(\mathop {\min}\limits_{x ∈ [a; b]}f(x) = min{f(x_1); f(x_2); …; f(x_m); f(a); f(b)}\)
Quy ước: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f(x)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y = f(x)\).
Giải: \(y = \frac{4}{1 + x^2}\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = \frac{-2x.4}{(1 + x^2)^2} = \frac{-8x}{(1 + x^2)^2}\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 8x = 0 ⇔ x = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}y = 0\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x = 0; y_{max} = 4\)
Cách khác
Ta thấy: \(1 + x^2 ≥ 1, ∀x\) nên \(\frac{4}{1 + x^2} ≤ \frac{4}{1} = 4 ⇒ y ≤ 4\)
Vậy \(maxy = 4\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0\).
Câu b: \(y = 4x^3 – 3x^4\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = 12x^2 – 12x^3 ⇒ y’ = 0 ⇔ 12x^2 – 12x^3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = 1 \end{matrix}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}y = \mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}(4x^3 – 3x^4) = -∞\)
Ta có bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x = 1; y_{max} = 1\)
Ở bài tập 4 này, bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất mà không có miền cho trước thì chúng ta nên mặc định hiểu theo yêu cầu là tập giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định.
Để tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, sau đó ta cần khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, và theo đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Câu a: \(y = \frac{4}{1 + x^2}\)
Ta có tập xác định D = R.
Đạo hàm của hàm số: \(y’ = -\frac{8x}{(1 + x^2)^2}\);
\(y’ = 0 ⇔ x = 0.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ở trên ta dễ dàng thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(0) = 4.\)
Câu b: \(y = 4x^3 – 3x^4\)
Ta có tập xác định D = R.
Tình đạo hàm \(y’ = 12x^2 – 12x^3 = 12x^2 (1 – x).\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = 1 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Như vậy, nhìn vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(1) = 1.\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời