Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn
Bài Tập 1 Trang 57 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a. \(\)\((a + 2b)^2\)
b. \((a – \sqrt{2})^6\)
c. \((x – \frac{1}{x})^{13}\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 57 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \((a + 2b)^5\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
\((a + b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n – 1}b +…. +C_n^ka^{n – k}b^k + … + C_n^{n – 1}ab^{n – 1} + C_n^nb^n\)
Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a, và b, trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.
Giải:
Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:
\((a + 2b)^5 = a^5 + 5a^4.2b + 10a^3.(2b)^2 + 10a^2(2b)^3\)
\(+ 5a.(ab)^4 + (2b)^5 = a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5\)
Cách khác:
\((a + 2b)^5 = C_5^0a^5 + C_5^1a^4(2b)^1 + C_5^2a^3(2b)^2 + C_5^3a^2(2b)^3 + C_5^4a^1(ab)^4 + C_5^5(2b)^5\)
\(= a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5\)
Câu b: \((a – \sqrt{2})^6\)
Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
\((a – \sqrt{2})^6 = a^6 + 6a^5(-\sqrt{2}) + 15a^4(-\sqrt{2})^2\)
\(+ 20a^3(-\sqrt{2})^3 + 15a^2(-\sqrt{2})^4 + 6a(-\sqrt{2})^5\)
\(+ (-\sqrt{2})^6 = a^6 – 6\sqrt{2}a^5 + 30a^4 – 40\sqrt{2}a^3 + 60a^2 – 24\sqrt{2}a + 8\)
Cách khác:
\((a – \sqrt{2})^6 = C_6^0a^6 + C_6^1a^5(-\sqrt{2})^1 + C_6^2a^4(-\sqrt{2})^2\)
\(+ C_6^3a^3(-\sqrt{2})^3 + C_6^4a^2(-\sqrt{2})^4\)
\(+ C_6^5a^1(-\sqrt{2})^5 + C_6^6(-\sqrt{2})^6\)
\(= a^6 – 6\sqrt{2}a^5 + 30a^4 – 40\sqrt{2}a^3 + 60a^2 – 24\sqrt{2}a + 8\)
Câu c: \((x – \frac{1}{x})^{13}\)
\((x – \frac{1}{x})^{13} = C_{13}^0x^{13} + C_{13}^1x^{12}.(-\frac{1}{x}) + C_{13}^2x^{11}.(-\frac{1}{x})^2\)
\(+ C_{13}^3x^{10}.(-\frac{1}{x})^3 + C_{13}^4x^9.(-\frac{1}{x})^4\)
\(+ C_{13}^5x^8.(-\frac{1}{x})^5 + C_{13}^6x^7.(-\frac{1}{x})^6\)
\(+ C_{13}^7x^6.(-\frac{1}{x})^7 + C_{13}^8x^5.(-\frac{1}{x})^8\)
\(+ C_{13}^9x^4.(-\frac{1}{x})^9 + C_{13}^{10}x^3.(-\frac{1}{x})^{10}\)
\(+ C_{13}^{11}x^2.(-\frac{1}{x})^{11} + C_{13}^{12}x.(-\frac{1}{x})^{12} + C_{13}^{13}.(-\frac{1}{x})^{13}\)
\(= C_{13}^0x^{13} + C_{13}^1x^{12}.\frac{(-1)^1}{x} + C_{13}^2x^{11}.\frac{(-1)^2}{x^2}\)
\(+ C_{13}^3x^{10}.\frac{(-1)^3}{x^3} + C_{13}^4x^9.\frac{(-1)^4}{x^4}\)
\(+ C_{13}^5x^8.\frac{(-1)^5}{x^5} + C_{13}^6x^7.\frac{(-1)^6}{x^6}\)
\(+ C_{13}^7x^6.\frac{(-1)^7}{x^7} + C_{13}^8x^5.\frac{(-1)^8}{x^8}\)
\(+ C_{13}^9x^4.\frac{(-1)^9}{x^9} + C_{13}^{10}x^3.\frac{(-1)^{10}}{x^{10}}\)
\(+ C_{13}^{11}x^2.\frac{(-1)^{11}}{x^{11}} + C_{13}^{12}x.\frac{(-1)^{12}}{x^{12}} + C_{13}^{13}.\frac{(-1)^{13}}{x^{13}}\)
\(= C_{13}^0x^{13} – C_{13}^1x^{11} + C_{13}^2x^9 – C_{13}^3x^7 + C_{13}^4x^5\)
\(- C_{13}^5x^3 + C_{13}^6x – C_{13}^7.\frac{1}{x} + C_{13}^8.\frac{1}{x^3} – C_{13}^9.\frac{1}{x^5}\)
\(+ C_{13}^{10}.\frac{1}{x^7} – C_{13}^{11}.\frac{1}{x^9} + C_{13}^{12}.\frac{1}{x^{11}} – C_{13}^{13}.\frac{1}{x^{13}}\)
Câu a: \((a + 2b)^2\)
Áp dụng công thức (*), ta có:
\((a + 2b)^5= C_5^0a^5 + C_5^1a^4(2b) + C_5^2a^3(2b)^2 + C_5^3a^2(2b)^3 + C_5^4a(2b)^4 + C_5^5(2b)^5\)
\(= a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5\)
Câu b: \((a – \sqrt{2})^6\)
Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
\((a – \sqrt{2})^6 = [a + (\sqrt{2})]^6\)
\(= a^6 + 6a^5 (\sqrt{2}) + 15a^4 (\sqrt{2})^2 + 20a^3 (\sqrt{2})^3 + 15a^2 (\sqrt{2})^4 + 6a(\sqrt{2})^5 + (-\sqrt{2})^6.\)
\(= a^6 – 6\sqrt{2}a^5 + 30a^4 – 40\sqrt{2}a^3 + 60a^2 – 20\sqrt{2}a + 8.\)
Câu c: \((x – \frac{1}{x})^{13}\)
Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:
\((x – \frac{1}{x})^{13} = C_{13}^0x^{13} – C_{13}^1x^{12}\frac{1}{x} + C_{13}^2x^{11}\frac{1}{x^2} – C_{13}^3x^{10}\frac{1}{x^3}\)
\(+ C_{13}^4x^9\frac{1}{x^4} – C_{13}^5x^8\frac{1}{x^5} + C_{13}^6x^7\frac{1}{x^6} – C_{13}^7x^6\frac{1}{x^7}\)
\(+ C_{13}^8x^5\frac{1}{x^8} – C_{13}^9x^4\frac{1}{x^9} + C_{13}^{10}x^3\frac{1}{x^{10}} – C_{13}^{11}x^2\frac{1}{x^{11}}\)
\(+ C_{13}^{12}x\frac{1}{x^{12}} – C_{13}^{13}\frac{1}{x^{13}}\)
\(= x^{13} – 13x^{11} + 78x^9 – 286x^7 + 715x^5 – 128x^3 + 1716x\)
\(- \frac{1716}{x} + \frac{1287}{x^3} – \frac{715}{x^5} + \frac{286}{x^7} – \frac{78}{x^9} + \frac{13}{x^{11}} – \frac{1}{x^{13}}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 57 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn Thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời