Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn
Bài Tập 6 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng:
a. \(\)\(11^{10} – 1\) chia hết cho 100
b. \(101^{100} – 1\) chia hết cho 10000
c. \(\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích 11
Câu a: \(11^{10} – 1\) chia hết cho 100
Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \(11^{10} = (1 + 10)^{10}\)
Giải:
\(11^{10} – 1 = (1 + 10)^{10} – 1\)
\(= (C_{10}^01^{10}.10^0 + C_{10}^1.1^9.10^1 + … + C_{10}^9.1^1.10^9 + C_{10}^{10}1^0.10^{10}) – 1\)
\(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2.10^2 + … + C_{10}^9.10^9 + 10^{10}) – 1\)
\(= 10.10 + C_{10}^2.10^2 + … + C_{10}^910^9 + 10^{10}\)
\(= 100(1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + … + 10^8)\)
Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho 100.
Câu b: \(101^{100} – 1\) chia hết cho 10000
Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Phân tích \(101^{100} = (1 + 100)^{100}\)
Giải:
Ta có: \(101^{100} – 1 = (1 + 100)^{100} – 1\)
\(= (C_{100}^0.1^{100}.100^0 + C_{100}^1.1^{99}.100^1 + … + C_{100}^{99}.1^1.100^{99} + C_{100}^{100}.100^{100}) – 1\)
\(= 100^2 + C_{100}^2.100^2 + … + C_{100}^{99}.100^{99} + 100^{100}\)
\(= 100^2(1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + … + 100^{98})\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2 = 10000 nên 101^{100} – 1\) chia hết cho 10000.
Câu c: \(\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Khai triển \((1 + \sqrt{10})^{100} và (1 – \sqrt{10})^{100}\)
Giải:
Ta có: \((1 + \sqrt{10})^{100} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^2(\sqrt{10})^2 + … + C_{100}^{99}(\sqrt{10})^{99} + C_{100}^{100}(\sqrt{10})^{100}\)
\((1 – \sqrt{10})^{100} = C_{100}^0 – C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^2(\sqrt{10})^2 – … – C_{100}^{99}(\sqrt{10})^{99} + C_{100}^{100}(\sqrt{10})^{100}\)
\(⇒ (1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}\)
\(= [C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt{10} + … + C_{100}^k(\sqrt{10})^k + … + C_{100}^{99}(\sqrt{10})^99 + C_{100}^{100}(\sqrt{10})^{100}]\)
\([C_{100}^0 – C_{100}^1\sqrt{10} + … + C_{100}^k(-1)^k(\sqrt{10})^k + … – C_{100}^{99}(\sqrt{10})^{99} + C_{100}^{100}(\sqrt{10})^{100}]\)
\(= 2.[C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^3(\sqrt{10})^3 + … + C_{100}^k(\sqrt{10})^k + … + C_{100}^{99}(\sqrt{10})^{99}]\)
Đặt \(k = 2n + 1\)
\(= 2\sqrt{10}.(C_{100}^1 + C_{100}^3.10 + … + C_{100}^{2n + 1}.10^n + … + C_{100}^{99}.10^{49})\)
\(= 2\sqrt{10}.A\)
\(⇒ \sqrt{10}.[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}] = \sqrt{10}.2\sqrt{10}.A = 20A\)
Vậy \(\sqrt{10}[(1 + 10)^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Câu a: \(11^{10} – 1\) chia hết cho 100
Ta có:
\(11^{10}- 1 = (1 + 10)^{10} =C_{10}^0.10^{10}+C_{10}^1.10^9 +…+ C_{10}^8.10^2+C_{10}^9.10+C_{10}^{10}\)
\(= 100(C_{10}^0.10^8 + C_{10}^1.10^7+…+ C_{10}^8 + 1) + 1\)
Vậy ta có tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra \(11^10 – 1\) chia hết cho 100.
Câu b: \(101^{100} – 1\) chia hết cho 10000
Ta có \(101^{100} = (100 + 1)^{100} = C_{100}^0.100^{100} + C_{100}^1.100^{99}+…+ C_{100}^{99}.100 + C_{100}^{100}\)
\(= 100^2 C_{100}^0.100^{98} + C_{100}^1.100^{97} +…+ 1]\)
Vậy ta có \(101^{100} = 10000[C_{100}^0.100^{98} + C_{100}^1.100^{97} +…+ 1]\) chia hết cho 10 000.
Câu c: \(\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Ta có: \((1 + \sqrt{10})^{100} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^2\sqrt{10^2} +…+ C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}} + C_{100}^{100}\)
\((1 – \sqrt{10})^{100} = C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^2\sqrt{10^2} + … -C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}} + C_{100}^{100}\)
Do đó: \((1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100} = 2(C_{100}^0 + C_{100}^1\sqrt{10} + C_{100}^2\sqrt{10^2} +…+ C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}})\)
Vậy nên ta có: \(\sqrt{40}[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}].\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn Thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời