Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
b. Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học 12
Câu a: Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.
Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: A’M ⊥ B’C’ (1)
Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: BB’ ⊥ (A’B’C’)
⇒ BB’ ⊥ A’M
Từ (1) và (2) suy ra A’M ⊥ (BB’C) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’.
Ta có: \(\)\(A’M = \frac{a\sqrt{3}}{2};S_{BB’C} = \frac{1}{2}a^2\)
\(⇒ V_{A’BB’C} = \frac{1}{3}A’M.S_{BB’C} ⇒ V_{A’BB’C} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Câu b:
Thể tích hình chóp C.A’B’EF bằng tổng thể tích hai hình chóp:
– \(V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác CEF.
– \(V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác A’EC.
Do mặt phẳng (ABC) // mặt phẳng (A’B’C’) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: \(EF = \frac{2}{3}a\)
Hình chóp B’.CEF có chiều cao BB’ = a và diện tích đáy là:
\(S_{CEF} = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}\)
Từ đây ta có: \(V_1 = \frac{a^3\sqrt{3}}{27}\)
Do \(EC = \frac{2}{3}AC\) nên \(S_{A’EC} = \frac{2}{3}a.\frac{1}{2}a = \frac{a^2}{3}\)
Hình chóp B’.A’EC có chiều cao là B’I (chiều cao của ΔA’B’C’) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên \(V_2 = \frac{a^3\sqrt{3}}{18}\)
Vậy thể tích hình chóp C.A’B’FE là: \(V = V_1+V_2 = \frac{5a^3\sqrt{3}}{54}\)
Cách giải khác
Câu a: Ta tính thể tích hình chóp A′.BCB′.
Gọi M là trung điểm của B′C′, ta có: A′M ⊥ B′C′ (1)
Lăng trụ ABC.A′B′C′ là lăng trụ đứng nên:
BB’ ⊥ (A’B’C’) ⇒ BB’ ⊥ A’M (2)
Từ (1) và (2) suy ra A′M ⊥ (BB′C′) hay A′M là đường cao của hình chóp A′.BCB′.
Ta có: \(A’M = \frac{a\sqrt{3}}{2}; S_{BB’C} = \frac{1}{2}a^2\)
\(⇒ V_{A’BB’C} = \frac{1}{3}.A’M.S_{BB’C} ⇒ V_{A’BB’C} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Cách khác
Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB.
Ta có: \(V_{A’.ABC} = V_{A’B’C’} = \frac{1}{3}Sh\) trong đó S là diện tích đáy \(S = S_{ABC} = S_{A’B’C’}\) và h là chiều cao của hình lăng trụ.
Lại có: \(V_{ABC.A’B’C’} = S.h\)
Do đó, \(V_{C.A’B’B} = Sh – \frac{1}{3}Sh – \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh\)
Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên \(S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’ = CC’ = a
Vậy thể tích hình chóp C.A’BB’ là:
\(V_{C.A’B’B} = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Câu b:
Thể tích hình chóp C.A′B′EF bằng tổng thể tích hai hình chóp:
– \(V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác CEF.
– \(V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác A′EC.
Do (ABC) // (A’B’C’) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: \(EF = \frac{2}{3}a\)
Hình chóp B’.CEF có chiều cao BB’ = a và diện tích đáy là:
\(S_{CEF} = \frac{1}{2}EF.CG = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}\)
Từ đây ta có: \(V_1 = \frac{a^3\sqrt{3}}{27}\)
Do \(EC = \frac{2}{3}AC\) nên \(S_{A’BE} = \frac{1}{2}A’A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{a^2}{3}\)
Gọi I là trung điểm của A′C′ ta có:
\(\begin{cases}B’I ⊥ A’C\\B’I ⊥ AA’\end{cases}\)
⇒ B’I ⊥ (ACC’A’) ⇒ B’I ⊥ (A’EC)
Hình chóp B’.A’EC có chiều cao là B’I bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên
\(V_2 = \frac{1}{3}.B’I.S_{A’EC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2}{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{18}\)
Vậy thể tích hình chóp C.A’B’FE là: \(V = V_1 + V_2 = \frac{5a^3\sqrt{3}}{54}\)
Cách giải khác
Câu a: Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’
Ta có: \(V_{A’.ABC} = V_{A’B’C’} = \frac{1}{3}S.h\) trong đó S là diện tích đáy \(S = S_{ABC} = S_{A’B’C’}\) và ha là chiều cao của hình lăng trụ.
Ta lại có: \(V_{ABC.A’B’C’} = S.h\)
Do đó, \(V_{C.A’BB’} = S.h – \frac{1}{3}S.h – \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.S.h\)
Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên \(S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’= CC’ = a.
Vậy thể tích hình chóp C.A’BB’ là:
\(V_{C.A’BB’} = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Câu b: Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A’B’, G là trọng tâm của tam giác ABC.Đường thẳng qua G, song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F, đường thẳng EF chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (GA’B’) và (ABC).
Ta có: \(\begin{cases}AB ⊥ CI\\AB ⊥ CC’\end{cases} ⇒ AB ⊥ (CIKC’) (1)\)
Mặt khác: EF // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF ⊥ (CIKC’)
⇒ (A’B’FE) ⊥ (CIKC’)
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A’B’FE) bằng khoảng cách từ C đến KG.
Ta có: \(CI = \frac{a\sqrt{3}}{2}, IG = \frac{1}{3}CI = \frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Suy ra \(KG = \sqrt{IK^2 + IG^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{12}} = a\sqrt{\frac{13}{12}}\)
\(S_{ΔGKC} = \frac{1}{2}IK.GC = \frac{1}{2}IK.\frac{2}{3}IC\)
\(= \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.IK.CI = \frac{1}{3}a.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6}\)
Khoảng cách từ C đến KG là \(d = 2S_{ΔGKC}\):
\(KG = \frac{2a^2\sqrt{3}}{6}:a\sqrt{\frac{13}{12}} = 2a\frac{\sqrt{13}}{13}\)
Dây cũng là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A’B’FE)
Diện tích khối chóp C.A’B’FE là:
\(S = \frac{1}{2}(A’B + EF).KG\)
\(= \frac{1}{2}(a + \frac{2}{3}a).a.\sqrt{\frac{13}{12}} = \frac{5a^2}{12}\sqrt{\frac{13}{3}}\)
Thể tích khối chóp C.A’B’FE là:
\(V = \frac{1}{3}.S_{A’B’FE}.d = \frac{1}{3}.\frac{5a^2}{12}.\sqrt{\frac{13}{3}}.\frac{2a\sqrt{13}}{13} = \frac{5a^3}{18\sqrt{3}}\)
Đã có lời giải chính thức cho bài tập 10 trang 27 sgk hình học lớp 12. Bài tập 10 trong chương I ôn tập chương khối đa diện, xem các bài giải khác trong chương ôn tập dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời