Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc \(\)\(60^0\). Dọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b. Tính thể tích của khối chóp S.DBC.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học 12
Câu a:
Ta có: AB = BC = CA = a
Gọi O là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)
Khi đó ta có: \(\widehat{SBO} = \widehat{SCO} = \widehat{SAO} = 60^0\)
⇒ ΔSOA= ΔSOB = ΔSOC
\(⇒ OA=OB=OC\) hay O là tâm của tam giác đều ABC.
Trong các tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:
\(SA = SB = SC = 2OA = 2.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(SO = \sqrt{SB^2-OB^2}=a\)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có: ID ⊥ SA
Nên \(ID. SA = SO.IA ⇒ ID = \frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{4}a\)
Xét tam giác vuông IDA, ta có:
\(DA = \sqrt{IA^2-ID^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4} ⇒ SD = \frac{2a\sqrt{3}}{3}- \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{5a\sqrt{3}}{12}\)
Mặt khác:
\(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.DBC}} = \frac{V_{S.DBC} + V_{A.BCD}}{V_{SDBC}} = 1+\frac{AD}{SD}\)
\(= 1 + \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{5a\sqrt{3}}{12}} = \frac{8}{5} ⇒ \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}} = \frac{5}{8}\)
Câu b:
Ta có:
\(V_{S.DBC} = \frac{1}{3}SD.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{5a\sqrt{3}}{12}. \frac{1}{2}.\frac{3}{4}a.a = \frac{5a^3\sqrt{3}}{96}\)
\(⇒V_{SABC}=\frac{8}{5}.\frac{5a\sqrt{3}}{96} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Cách giải khác
Câu a:
– Sử dụng công thích tỉ số thể tích: \(\frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}} = \frac{SD}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SC}{SC} = \frac{SD}{SA}\).
Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Do đó AH là hình chiếu của SA lên (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng góc giữa SA và AH hay góc SAH = 60^0.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC:
\(AM = ABsin60^0 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(AH = \frac{2}{3}.AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(SA = \frac{AH}{cos60^0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} = SB\)
Xét tam giác vuông SBM ta có: \(SM = \sqrt{SB^2 – BM^2} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)
Qua B kẻ BD ⊥ SA, khi đó ta có:
\(\begin{cases}BC ⊥ AM\\BC ⊥ SH\end{cases} ⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ SA\)
\(\begin{cases}SA ⊥ BC\\SA ⊥ BD\end{cases} ⇒ SA ⊥ (BCD)\)
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.
SA ⊥ (BCD) ⇒ SA ⊥ DM
Xét tam giác vuông ADM có: \(DM = AM.sin 60 = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{4}\)
Xét tam giác vuông SDM có: \(SD = \sqrt{SM^2 – DM^2} = \frac{5\sqrt{3}}{12}a\)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
\(\frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}} = \frac{SD}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SC}{SC} = \frac{5a\sqrt{3}}{12}:\frac{2a\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{8}\)
Câu b: Ta có: \(S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}; SH = AH.tan60^0 = a\)
\(⇒ V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SH.S_{ABC} ⇒ V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Từ kết quả câu a) ta có:
\(V_{S.DBC} = \frac{5}{8}.V_{S.ABC} ⇒ V_{S.BDC} = \frac{5}{8}.\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
\(⇒ V_{S.SBC} = \frac{5a^3\sqrt{3}}{96}\)
Bài giải bài tập 6 trang 26 sgk hình học 12. Để xem các bài tập khác trong chương ôn tập các bạn vui lòng xem ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời