Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD – b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học 12
Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
Theo giả thiết SB ⊥ AB’ ⇒ AB’ ⊥ (SBC) ⇒ AB’ ⊥ SC (1)
Chứng minh tương tự ta có: AD’ ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra SC ⊥ (AB’C’D’) hay SC’ ⊥ (AB’C’D’)
Do đó SC’ là đường cao của hình chóp S.AB’C’D’
Từ AB’ ⊥ (SBC) ⇒ AB’ ⊥ B’C’
Tương tự ta có: AD’ ⊥ D’C’
\(⇒ S_{AB’C’D’} = S_{AB’C’} + S_{AD’C’}\)
\(= \frac{1}{2}AB’.B’C’ + \frac{1}{2}AD’.D’C’ = \frac{1}{2}(AB’.B’C’ + AD’.D’C’)\)
Từ các kết quả trên, ta được:
\(V_{AB’C’D’} = \frac{1}{3}.SC’.\frac{1}{2}(AB’.B’C’ + AD’.D’C’)\)
\(= \frac{1}{6}SC’.(AB’.B’C’ + AD’.D’C’) (*)\)
Ta tính các yếu tố trên.
Tam giác vuông SAB có AB’ là đường cao, nên ta có:
\(\frac{1}{AB’^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2} ⇒ AB’^2 = \frac{a^2c^2}{a^2 + c^2} ⇒ AB’ = \frac{ac}{\sqrt{a^2 + c^2}}\)
Tương tự, ta có:
\(AD^2 = \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2} ⇒ AD’ = \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\)
Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 ⇒ SC = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
Trong tam giác vuông SAC, AC’ là đường cao
\(⇒ SC’.SC = SA^2 ⇒ SC’ = \frac{SA^2}{SA} = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
ΔSBC động dạng \(ΔSC’B’ (g.g) ⇒ \frac{B’C’}{BC} = \frac{SC’}{SB}\)
\(⇒ B’C’ = \frac{SC’.BC}{SB} = \frac{bc^2}{\sqrt{a^2 + c^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Tương tự ta có: \(D’C’ = \frac{c^2a}{\sqrt{b^2 + c^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Thay các kết quả này vào (*) ta được:
\(V = \frac{1}{6}.\frac{abc^5(a^2 + b^2 + 2c^2)}{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)}\)
Cách giải khác
Dựng điểm C’ như hình vẽ.
Ta có: BC ⊥ AB (giả thiết) (1)
Mặt khác: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC ⊥ (SAB)
⇒ BC ⊥ AB’ (3)
Ta có: AB’ ⊥ SB (giả thiết) (4)
Từ (3) và (4) suy ra suy ra AB’ ⊥ (SBC)
Hay ta có được AB’ ⊥ BC’
⇔ ΔAB’C’ vuông tại B’
Hoàn toàn tương tự ta cũng có ΔAD’C’ vuông tại D’
Ta có: AB’ ⊥ SC;AD’ ⊥ SC
(vì AB’ ⊥ (SBC), AD’ ⊥ (SDC))
Nên SC ⊥ (AB’C’D’). Vì vậy:
\(V_{S.AB’C’D’} = \frac{1}{3}.S_{AB’C’D’}.SC’ = \frac{1}{3}[ S_{ΔAB’C’} + S_{\Delta AD’C’} ].SC’\)
\(= \frac{1}{6}[ AB’.B’C’+ AD’.D’C’ ].SC’ (*)\)
Ta có:
\(\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} ⇒ AB^2 = \frac{a^2.c^2}{a^2+c^2} ⇒ AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)
Tương tự: \(AD’^2 = \frac{b^2c^2}{b^2+c^2} ⇒ AD’=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\) (6)
\(\frac{1}{AC’^2} = \frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)
\(⇒ AC’^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2} ⇒ AC’ = \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) (7)
\(⇒ BC’^2=AC’^2-AB’^2=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)
\( = \frac{c^4b^2}{(a^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)}\)
\(⇒ B’C’=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)
Tương tự: \(C’D’ = \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)}} \ \ (9); SC’= \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \ \ (10)\)
Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:
\(V_{S.AB’C’D’}=\)
\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
\( = \frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2 + b^2 + c^2}[ \frac{1}{a^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2}]\)
Cách giải khác
Ta có:
\(\begin{cases}BC ⊥ SA\\BC ⊥ AB\end{cases}\)
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ AB’ ⊥ BC ⇒ AB’ ⊥ (SBC)
⇒ AB’ ⊥ SC (1)
Chứng minh tương tự AD’ ⊥ (SCD) ⇒ AD’ ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra SC ⊥ (AB’D’)
Ta lại có:
\(SB = \sqrt{AB^2 + AS^2} = \sqrt{a^2 + c^2}\)
\(SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{c^2 + AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(SC = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(S_{ΔSAB} = \frac{1}{2}SA.AB = \frac{1}{2}AB’.SB ⇔ AB’ = \frac{SA.AB}{SB} = \frac{ca}{\sqrt{a^2 + c^2}}\)
Tương tự \(AD’ = \frac{cb}{\sqrt{b^2 + c^2}}, AC’ = \frac{c\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
\(⇒ SB’ = \sqrt{SA^2 – AB’^2} = \sqrt{c^2 – \frac{c^2a^2}{a^2 + c^2}} = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}\)
Tương tự \(SD’ = \frac{c^2}{\sqrt{b^2 + c^2}}, SC’ = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Vì ΔSC’B’ đồng dạng ΔSBC nên \(\frac{B’C’}{SC’} = \frac{BC}{SB}\)
\(⇒ B’C’ = \frac{BC.BC’}{SB} = \frac{bc^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\sqrt{b^2 + c^2}}\)
Tương tự \(D’C’ = \frac{ac^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\sqrt{b^2 + c^2}}\)
AB’ ⊥ B’C’ và AD’ ⊥ D’C’ nên:
\(S_{ΔAB’C’} = \frac{1}{2}B’C’.AB’ = \frac{1}{2}.\frac{c^2}{\sqrt{a^2 + c^2}}.\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\frac{ca}{\sqrt{a^2 + c^2}}\)
\(= \frac{1}{2}.\frac{abc^3}{(a^2 + c^2).\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Tương tự \(S_{ΔAD’C’} = \frac{1}{2}\frac{abc^3}{(b^2 + c^2).\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Vậy thể tích hình chóp S.AB’C’D’ là:
\(V = \frac{1}{3}.S_{AB’C’D’}.SC’ = \frac{1}{3}(S_{ΔAB’C’} + S_{ΔAD’C’}).SC’\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{abc^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}(\frac{1}{a^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2}).\frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
\(= \frac{1}{6}.\frac{abc^5}{a^2 + b^2 + c^2}.\frac{a^2 + b^2 + 2c^2}{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)}\)
\(= \frac{abc^5(a^2 + b^2 + 2c^2)}{6(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)}\)
Lời giải chi tiết bài tập 9 sgk hình học lớp 12 dành cho các bạn học sinh, xem các bài tập trong chương ôn tập trước đó ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời