Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Lời Giải Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học 12
Trước hết, ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mp (CEF). Mặt phẳng viết tắt (mp) (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của CC’ nên EF chứa giao điểm O của các đường chéo hình hộp, do đó mp(CEF) cùng chứa giao điểm O của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo A’C của hình hộp. Vì vậy ta có thể đúc kết rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mp // với đáy hình hộp, mp này cắt AA’ ở P và cắt CC’ ở Q.
Ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:
\(\)\(V_{ABCD.PEQF} = \frac{1}{2}V_{ABCD.A’B’C’D’}\) (1)Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng:
\(V_{CFQE} = V_{AFPE}\) (2)
(Hai hình chóp CFQE và A’FPE có chiều cao bằng nhau và diện tích đáy bằng nhau)
Xét khối đa diện ABCDE’F do mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:
\(V_{ABCD.FA’EQ} = V_{ABCD.FPE} + V_{A’FPE}\)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\(V_{ABCD.FA’EQ} = \frac{1}{2}.V_{ABCD.A’B’C’D’}\)
Vậy mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.
Lưu ý: Chúng ta có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mp(CEF) chứa điểm O nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.
Cách giải khác
– Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (CEF).
– Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A′B′C′D′ khi cắt bởi (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB′,F là trung điểm của CC′.
O ∈ EF ⇒ O ∈ CEF ⇒ CO ⊂ (CEF)
A’ ∈ CO ⇒ A’ ∈ (CEF)
Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA′F.
Mặt phẳng (CEA’F) chia khối hộp thành 2 phần: ABCD.A’ECF \((V_1)\) và A’B’C’D’.CEA’F \((V_2)\)
Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA′ ở P và cắt CC′ ở Q.
Ta có: \(V_{ABCD.A’ECF} = V_{ABCD.EFP} + V_{A’.PEF}\)
\(V_{A’PEF} = V_{C.QEF}\)
\(⇒ V_{ABCD.A’ECF} = V_{ABCD.EFP} + V_{C.QEF} = V_{ABCD.EPFQ} = \frac{1}{2}V\)
Do đó \(V_1 = V_2 = \frac{1}{2}V ⇒ \frac{V_1}{V_2} = 1\)
Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm O nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.
Cách giải khác
Gọi O là tâm hình hộp và tâm của hình bình hành BB’D’D. Khi đó O là trung điểm của EF.
Ta có: A’ ∈ CO (1)
CO ⊂ mp(CEF)(2)
Mặt khác A’E // CF, A’F // CE
Nên mp(CEF) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành A’ECF.
mp(CEF) chia hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (Đ) và (Đ’).
Gọi (Đ) là khối đa diện có các đỉnh là A, B, C, D, A’, E, F và (Đ’) là khối đa diện còn lại.
Phép đối xứng qua tâm O biến các đỉnh A, B, C, D, A’, E, F của đa diện (Đ) lần lượt thành các đỉnh C’, D’, A’, B’, C, F, E của khối da diện (Đ’).
Suy ra phép đối xứng qua tâm O biến (Đ) thành (Đ’), nghĩa là hai hình đa diện (Đ) và (Đ’) bằng nhau.
Vậy tỉ số thể tích của (Đ) và (Đ’) bằng 1.
Trên là bài giải bài tập 11 trang 27 sgk hình học lớp 12. Xem thêm các bài giải khác trong phần ôn tập chương ngay bên duới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời