Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc \(\)\(60^0\). Tính thể tích của khối chóp.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học 12
Áp dụng công thức tính thể tích \(V_{chóp} = \frac{1}{3}Sh\) trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp.
Kẻ SH ⊥ (ABC) và từ H kẻ HI ⊥ AB, HJ ⊥ BC, HK ⊥ CA.
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, SK ⊥ AC do đó:
– Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là \(\widehat{SIH} = 60^0\)
– Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\widehat{SJH} = 60^0\)
– Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) là \(\widehat{SKH} = 60^0\)
Từ đây ta có: ΔSIH = ΔSJH = ΔSKH (c.g.v.g.n)
⇒ IH = JH = KH
⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.
Tam giác ABC có chu vi: 2p = AB + BC + CA = 18a ⇒ p = 9a.
Theo công thức Hê-rông, ta có: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p – AB)(p – AC)(p – BC)} = \sqrt{9a.4a.2a.3a} = 6a^2\sqrt{6}\)
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
\(IH = r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{6a^2\sqrt{6}}{9a} ⇒ IH = \frac{2a\sqrt{6}}{3}\)
Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r.tan60^0 = \frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3} = 2a\sqrt{2}\)
Vậy thể tích khối chóp: \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.2a\sqrt{2}.6a^2\sqrt{6} = 8a^3\sqrt{3}\)
Cách giải khác
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC, CA, AB. Xét các tam giác vuông: SHA’, SHB’, SHC’ có:
\(\widehat{SA’H} = \widehat{SB’H} = \widehat{SC’H} = 60^0\) (vì các góc này chính là các góc của mặt bên và mặt đáy ABC)
Từ các tam giác vuông đó dễ dàng suy ra \(SC’ = SA’ = SB’\) nên HA’ = HB’= HC’ ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:
\(S_{ΔABC} = \sqrt{(p – AB)(p – AC)(p – BC).p}\)
Với \(p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{5a + 6a + 7a}{2} = 9a\)
Do đó: \(S_{ΔABC} = \sqrt{(9a – 5a)(9a – 6a)(9a – 7a)p} = \sqrt{216a^4} = 6a^2\sqrt{6}\)
Vì \(S_{ΔABC} = p.r\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
\(⇒ r = \frac{6a^2\sqrt{6}}{9a} = \frac{2a\sqrt{6}}{3}\)
Xét tam giác vuông SHA’, ta có: \(tan 60^0 = \frac{SH}{HA’} ⇒ SH = r.tan60^0\)
\(⇒ SH = \frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3} = 2\sqrt{2}a\)
Do đó thể tích của khối chóp S.ABC là:
\(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}S._{\Delta ABC}.SH = \frac{1}{3}.6.a^2\sqrt{6}. 2\sqrt{2}a = 8\sqrt{3}a^3\)
Cách giải khác
Từ S dựng SH ⊥ (ABC), H ∈ mp(ABC), đồng thời dựng HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HI ⊥ AC.
Ta có: SE ⊥ AB; SF ⊥ BC; SI ⊥ AC
Theo đề bài, góc hợp bởi (SAB), (SBC), (BAC), (SAC) và đáy (ABC) lần lượt là \(\widehat{SEH} = \widehat{SFH} = \widehat{SIH} = 60^0\)
⇒ ΔSHE = ΔSHF = ΔSHI
⇒ HE = HF = HI = r
(với t là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Chu vi tam giác ABC là 2p = 18a
Theo công thức Hê-rông, diện tích tam giác ABC là:
\(S = \sqrt{9.4.3.2a^4} = 6a^2\sqrt{6}\)
Ta có công thức S = p.r, ta có \(r = \frac{S}{P} = \frac{2a\sqrt{6}}{3}\)
\(⇒ SH = EH.tan\widehat{SEH} = r.tan60^0 = \frac{2a\sqrt{6}}{3}\sqrt{3} = 2a\sqrt{2}\)
Vậy thể tích S.ABC là:
\(V = \frac{1}{3}S_{ΔABC}.SH = \frac{1}{3}.6a^2\sqrt{6}.2a\sqrt{2} = 8a^3\sqrt{3}\)
Trên là bài giải bài tập 7 trang 26 sgk hình học lớp 12. Hy vọng bài giải giúp các bạn làm tốt bài tập trong sách giáo khoa không sợ thầy giáo nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời