Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc \(\)\(60^0\). Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học 12
Gọi O là giao điểm của AC và BD. AM cắt SO tại I.
Do mặt phẳng chứ AM, song song với BD nên E, F lần lượt là các giao điểm của đường thẳng qua I, song song với BD với các đường thẳng SB, SD.
Ta có: DB ⊥ AC (giả thiết)
SO ⊥ BD (vì S.ABCD là hình chóp đều)
Nên BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ SC (1)
Mặt khác tam giác SAC cân tại S, hơn nữa theo giả thiết thì góc giữa SA và (ABCD) bằng \(60^0\) tức là góc \(\widehat{SAC}=60^0\) nên \(\Delta SAC\) đều. Vì M là trung điểm của SC nên AM ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2), ta có: SC ⊥ (AEMF) ⇒ SM là chiều cao của khối chóp S.AEMF
Cũng từ \(EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM ⊥ S_{AEMF} = \frac{1}{2} EF.AM\)
\(\)\(⇒ V_{S.AEMF} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}EF.AM.SM\) (*)Vì ΔSAC đều và \(AC = a\sqrt{2}\) (đường chéo của hình vuông cạnh a) nên \(SC = a\sqrt{2} ⇒ SM = \frac{a\sqrt{2}}{2}(3)\)
Cũng vì ΔSAC đều cạnh \(a\sqrt{2}\) nên \(AM = \frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \ (4)\)
Để thấy I là trọng tâm của tâm giác SDB nên theo định lý Talet ta có:
\(\frac{EF}{BD} = \frac{SI}{SO} = \frac{2}{3} ⇒ EF = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}a\sqrt{2} (5)\)
Thay (3), (4) và (5) vào (*) ta có:
\(V_{S.AEMF} = \frac{1}{6}.\frac{2}{3}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}. \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)
Cách giải khác
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua AM và song song với BD là tức giác AEMF.
Chứng minh AEMF có hai đường chéo vuông góc \(⇒ S_{AEMF} = \frac{1}{2}AM.EF\)
Chứng minh \(SM ⊥ (AEMF) ⇒ V_{S.AEMF} = \frac{1}{3}SM.S_{AEMF}\)
Gọi H = AC ∩ BD
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên chân H của đường cao SH chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SDB) theo một giao tuyến song song với BD. Ta dựng giao tuyến EF như sau: Gọi I là giao điểm của AM và SH. Qua I ta dựng một đường thẳng song song với BD, đường này cắt SB ở E và cắt SD ở F.
Ta có: HA là hình chiếu vuông góc của SA trên \((ABCD) ⇒ (SA; (\widehat{ABCD})) = (\widehat{SA; AH}) = \widehat{SAH} = 60^0\)
Tam giác cân SAC có SA = SC và góc \(SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: I là giao điểm của các trung tuyến AM và
AH nên I là trọng tâm của tam giác đều \(SAC ⇒ \frac{SI}{SH} = \frac{2}{3}\)
Do \(EF // DB ⇒ \frac{EF}{DB} = \frac{SF}{SD} = \frac{SE}{SB} = \frac{SI}{SH} = \frac{2}{3}\)
Vì \(DB = a\sqrt{2} ⇒ EF = \frac{2a\sqrt{2}}{3}\)
Tam giác SAC là tam giác đều nên \(AM = \frac{AC\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Ta lại có: \(\begin{cases}BD ⊥ AC\\BD ⊥ SH\end{cases}\)
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ AM ⇒ AM ⊥ EF
Tứ giác AEMF có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích:
\(S_{AEMF} = \frac{1}{2}EF.AM = \frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{2}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}\)
Mặt khác, tam giác ASC là tam giác đều, M là trung điểm của SC nên AM ⊥ SC. Ta cũng có DB ⊥ (SAM) ⇒ SB ⊥ SC vì
DB // EF nên EF ⊥ SC. Từ kết qủa trên, suy ra SM ⊥ (AEMF)
Dễ thấy \(SM = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) (do tam giác SAC đều). Do đó:
\(V_{S.AEMF} = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)
Cách giải khác
Ta có: \(\begin{cases}BD ⊥ AC\\BD ⊥ SH\end{cases} nên BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC)\)
Mà AM ∈ (SAC) nên EF ⊥ AM
Ta lại có: \(EI = FI = \frac{2}{3}HD = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Và \(\widehat{SCH}\) là góc tạo bởi cạnh bên SC và đáy (ABC): \(\widehat{SCH} = 60^0\).
Vì SA = AC và \(\widehat{SCH} = 60^0\) nên SAC là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt{2}\)
\(⇒ AM = \frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Và \(SM = \frac{SC}{2} = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vì EF ⊥ AM nên
\(S_{AEMF} = \frac{1}{2}AM.EF = AM.EI = \frac{a^2\sqrt{12}}{6} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}\)
SM thuộc (SAC) và EF ⊥ (SAC)
⇒ SM ⊥ EF (1)
SAC là tam giác đều nên SM ⊥ AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra SM ⊥ (AEMF)
Điều này chứng tỏ SM là đường cao của hình chóp S.AEMF
Vậy thể tích của khối chóp S.AEMF là:
\(V = \frac{1}{3}V_{AEMF}.SM = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)
Trên là bài giải chi tiết nhất bài tập 9 trang 26 sgk hình học lớp 12. Xem các lời giải bài tập ôn tập chương I khối đa diện ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời