Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học 12
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OH.
Kẻ AD ⊥ BC, OH ⊥ AD ta chứng minh OH chính là đường cao của hình chóp.
\(\begin{cases}BC ⊥ OA\\BC ⊥ AH\end{cases} ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OH (1)\)
\(\begin{cases}AC ⊥ BH\\AC ⊥ OB\end{cases} ⇒ AC ⊥ (OBH) ⇒ AC ⊥ OH (2)\)
(1); (2) ⇒ OH ⊥ (ABC)
Vậy OH chính là đường cao của hình chóp.
BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ (OAD) ⇒ BC ⊥ OD.
Tam giác OBC vuông tại O nên \(BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{b^2 + c^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:
OD.BC = OB.OC nên \(OD = \frac{OB.OC}{BC} = \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có:
\(AD = \sqrt{AO^2 + OD^2} = \sqrt{a^2 + \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2}}\)
\(= \sqrt{\frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}{b^2 + c^2}}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: OH.AD = OA.OD nên \(OH = \frac{OA.OD}{AD} = \frac{abc}{\sqrt{b^2 + c^2}}:\sqrt{\frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}{b^2 + c^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}\)
Cách giải khác
Kẻ \(\)\(AD ⊥ BC, OH ⊥ AD\) thì dễ thấy OH chính là đường cao của hình chóp.
Vì \(OD.BC = OB.OC\) nên \(OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra
\(AD = \sqrt{a^2 + \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2}} = \sqrt{\frac{a^2b^2 + v^2c^2 + c^2a^2}{b^2 + c^2}}\) .
Vì OH.AD = OA.OD nên
\(OH = \frac{abc}{\sqrt{b^2 + c^2}}:\sqrt{\frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}{b^2 + c^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}\)
Nhận xét: Ta có thể tính OH từ mối liên hệ:
\(V_{O.ABC}=\frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}.OH.S_{ΔABC}\)
Cách giải khác
\(\begin{cases}BA ⊥ CD\\BA ⊥ CA\end{cases}\)
⇒ BA ⊥ (ADC) ⇒ BA ⊥ CE
Mặt khác BD ⊥ (CEF) ⇒ BD ⊥ CE
Từ đó suy ra:
CE ⊥ (ABD) ⇒ CE ⊥ EF, CE ⊥ AD
Vì tam giác ACD vuông cân, AC = CD = a nên \(CE = \frac{AD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có: \(BC = a\sqrt{2}, BD = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\)
Để ý rằng CF.CD = DC.BC nên \(CF = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Từ đó suy ra
\(EF = \sqrt{CF^2 – CE^2} = \sqrt{\frac{2}{3}a^2 – \frac{a^2}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\)
\(DF = \sqrt{DC^2 – CF^2} = \sqrt{a^2 – \frac{2}{3}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Từ đó suy ra \(S_{ΔCEF} = \frac{1}{2}FE.EC = \frac{1}{2}\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\)
Vậy \(V_{D.CEF} = \frac{1}{3}S_{ΔCEF}.DF = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3}{36}\)
Trên là bài giải bài tập 5 khá chi tiết dành cho các bạn. Xem thêm các baì giải khác trong chương ôn tập ngay bên dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời