Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Bài Tập 2 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.
a. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
b. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11
Câu a: Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
Ta có:
– (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
– Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
– (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
– (α) ∩ (ACD) = QP.
Câu b: Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
\(\)\(\begin{cases}(α) ∩ (ABD) = MQ\\(α) ∩ (ABC) = MN\\(α) ∩ (ACD) = PQ\\(α) ∩ (BCD) = PN\end{cases}\) nên thiết diện là tứ giác MNPQ.\(\begin{cases}(α) ∩ (ACD) = PQ\\AC // (α)\\AC ⊂ (ACD)\end{cases} ⇒ PQ // AC.\)
Mà MN // AC (câu a) nên MN // PQ.
Lại có: MQ // BD, NP // BD (câu a) nên MQ // NP.
Tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Câu a: Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
– (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
– Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
– (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
– (α) ∩ (ACD) = QP.
Câu b: Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Ta có:
\(\begin{cases}(MNPQ) ∩ (ACD) = PQ\\AC // (MNPQ)\\AC ⊂ (ACD)\end{cases} ⇒ PQ // AC\)
Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Câu a: Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
Ta có: (α) //AC và AC ⊂ (ABC)
⇒ AC // với giao tuyến của (α) và (ABC)
* Trên mặt phẳng (ABC) kẻ MN // AC (N ∈BC)
⇒ MN = (α) ∩ (ABC)
(α) // BD và BD ⊂ (ABC)
⇒ BD // với giao tuyến của (α) và (BCD)
* Trên mặt phẳng (BCD) kẻ NP // BD (P ∈ CD)
⇒ NP= (α) ∩ (BCD)
(α) //AC và AC ⊂ (ACD)
⇒ AC // với giao tuyến của (α) và (ACD)
* Trên mặt phẳng (ACD) kẻ PQ // AC (Q ∈ AD)
⇒ PQ= (α) ∩ (ACD)
Ta thấy M và Q là 2 điểm chung của mp(α) và (ABD)
⇒ (α) ∩ (ABD) = MQ
Câu b: Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Theo câu a) ta có:
\(\left.\begin{matrix} MN //AC\\ PQ //AC \end{matrix}\right\} ⇒ MN // PQ\)
và (α) // BD, BD ⊂ (ABD) ⇒ BD // MQ
Mặt khác NP // AC ⇒ NP // MQ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MNPQ là hình bình hành
⇒ Thiết diện cảu tứ diện cắt bởi mp(α) là hình bình hành.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời