Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 4: Cấp Số Nhân
Bài Tập 3 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân \(\)\((u_n)\) có năm số hạng, biết:
a. \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)
b. \(u_4 – u_2 = 25\) và \(u_3 – u_1 = 50\).
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1.q^{n – 1}\).
Giải:
Trong cấp số nhân, ta có: \(u_n = u_1.q^{n – 1}\). Trong đó \(u_1\) là số hạng thứ nhất, \(u_m\) là số hạng thứ n và q là công bội.
Mà: \(\begin{cases}u_3 = 3\\u_5 = 27\end{cases} ⇔ \begin{cases}u_1.q^2 = 3\\u_1.q^4 = 27\end{cases}\)
\(⇒ \frac{u_1.q^4}{u_1.q^2} = \frac{27}{3} ⇔ q^2 = 9 ⇔ q = ±3\)
\(- q = 3 ⇒ u_1.3^2 = 3\)
\(⇔ u_1 = \frac{3}{3^2} = \frac{1}{3}\)
⇒ Cấp số nhân: \(\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27\)
\(- q = -3 ⇒ u_1.(-3)^2 = 3\)
\(⇔ u_1 = \frac{3}{(-3)^2} = \frac{1}{3}\)
⇒ Cấp số nhân: \(\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 37\)
Câu b: \(u_4 – u_2 = 25\) và \(u_3 – u_1 = 50\).
Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1.q^{n – 1}\).
Giải:
Ta có: \(u_4 = u_1q^3; u_2 = u_1q; u_3 = u_1q^2\).
Theo bài ra: \(\begin{cases}u_4 – u_2 = 25\\u_3 – u_1 = 50\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}u_1q^3 – u_1q = 25\\u_1q^2 – u_1 = 50\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}u_1q(q^2 – 1) = 25\\u_1(q^2 – 1) = 50\end{cases}\)
\(⇒ \frac{u_1q(q^2 – 1)}{u_1(q^2 – 1)} = \frac{25}{50} ⇔ q = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}\)
\(⇒ u_1.(\frac{1}{2})^2 – u_1 = 50\)
\(⇔ u_1.(-\frac{3}{4}) = 50 ⇔ u_1 = \frac{-200}{3}\)
⇒ Cấp số nhân: \(\frac{-200}{3}; \frac{-100}{3}; \frac{-50}{3}; \frac{-25}{3}; \frac{-25}{6}\)
Câu a: \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)
Theo như đề bài ra ta có: \(\begin{cases}u_3 = 3\\ u_5 = 27\end{cases} ⇔ \begin{cases}u_1.q^2 = 3 (1)\\ u_1.q^4 = 27 (2)\end{cases}\)
Từ đó ta lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{1}{q^2} = \frac{1}{-9} ⇒ q = ±3\)
Khi \(q = -3 ⇒ u_1 = \frac{1}{3}\) (do (1))
Vậy ta có 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\)
Khi \(q = 3 ⇒ u_1 = \frac{1}{3}\) (do (1))
Vậy ta có 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\)
Câu b: \(u_4 – u_2 = 25\) và \(u_3 – u_1 = 50\).
Ta có: \(\begin{cases}u_4 – u_2 = 25\\ u_3 – u_1 = 50\end{cases} ⇒ \begin{cases}u_1q^3 – u_1q = 25\\ u_1q^2 – u_1 = 50\end{cases}\)
\( ⇔ \begin{cases}u_1(q^3 – q) = 25 \ (1)\\ u_1(q^2 – 1) = 50 \ (2)\end{cases}\)
Từ đó ta lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{q^3 – q}{q^2 – 1} = \frac{1}{2}(q ≠ ±1) ⇔ q = \frac{1}{2}.\)
Vậy ta có 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{-200}{3}, \frac{-100}{3}, \frac{-50}{3}, \frac{-25}{3}, \frac{-25}{6}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 4: Cấp Số Nhân Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời