Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm
Bài Tập 3 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(\)\(y = (x^7 – 5x^2)^3\)
b. \(y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2)\)
c. \(y = \frac{2x}{x^2 – 1}\)
d. \(y = \frac{3 – 5x}{x^2 – x + 1}\)
e. \(y = (m + \frac{n}{x^2})^3\) (m, n là các hằng số)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(y = (x^7 – 5x^2)^3\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm \((x^n)’ = nx^{n – 1}\), đạo hàm của hàm hợp \([f(u)]’ = u’.f'(u)\), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:
\((uv)’ = u’v + uv’\)
\((\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\)
Giải:
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \(y = u^3, u = x^7 – 5x^2\)
\(y = (x^7 – 5x^2)^3\)
\(⇒ y’ = 3(x^7 – 5x^2)^2(x^7 – 5x^2)’\)
\(y’ = 3(x^7 – 5x^2)62[(x^7)’ – (5x^2)’]\)
\(y’ = 3(x^7 – 5x^2)^2.(7x^6 – 5.2x)\)
\(y’ = 3(x^7 – 5x^2)^2.(7x^6 – 10x)\)
Câu b: \(y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2)\)
\(⇒ y = 5x^2 – 3x^4 + 5 – 3x^2\)
\(= -3x^4 + 2x^2 + 5\)
\(⇒ y’ = (-3x^4)’ + (2x^2)’ + (5)’\)
\(⇒ y’ = -3.4x^3 + 2.2x + 0\)
\(⇒ y’ = -12x^3 + 4x\)
Cách khác
\(y’ = (x^2 + 1)'(5 – 3x^2) + (x^2 + 1)(5 – 3x^2)’\)
\(= [(x^2)’ + (1)’](5 – 3x^2) + (x^2 + 1)[(5)’ – (3x^2)’]\)
\(= (2x + 0)(5 – 3x^2) + (x^2 + 1)(0 – 3.2x)\)
\(= 10x – 6x^3 – 6x^3 – 6x\)
\(= 4x – 12x^3\)
Câu c: \(y = \frac{2x}{x^2 – 1}\)
\(y’ = \frac{(2x)'(x^2 – 1) – 2x.(x^2 – 1)’}{(x^2 – 1)^2}\)
\(y’ = \frac{2(x^2 – 1) – 2x.2x}{(x^2 – 1)^2}\)
\(y’ = \frac{2x^2 – 2 – 4x^2}{(x^2 – 1)^2}\)
\(y’ = \frac{-2x^2 – 2}{(x^2 – 1)^2}\)
Câu d: \(y = \frac{3 – 5x}{x^2 – x + 1}\)
\(y’ = \frac{(3 – 5x)'(x^2 – x + 1) – (3 – 5x)(x^2 – x + 1)’}{(x^2 – x + 1)^2}\)
\(y’ = \frac{-5(x^2 – x + 1) – (3 – 5x)(2x – 1)}{(x^2 – x + 1)^2}\)
\(y’ = \frac{-5x^2 + 5x – 5 + 3 – 11x + 10x^2}{(x^2 – x + 1)^2}\)
\(y’ = \frac{5x^2 – 6x – 2}{(x^2 – x + 1)^2}\)
Câu e: \(y = (m + \frac{n}{x^2})^3\) (m, n là các hằng số)
\(y’ = 3(m + \frac{n}{x^2})^2(m + \frac{n}{x^2})’\)
\(= 3(m + \frac{n}{x^2})^2[(m)’ + (\frac{n}{x^2})’]\)
\(= 3(m + \frac{n}{x^2})^2[0 + \frac{(n)’.x^2 – n.(x^2)’}{x^4}]\)
\(= 3(m + \frac{n}{x^2})^2.\frac{0x^2 – n.2x}{x^4}\)
\(= 3(m + \frac{n}{x^2})^2.\frac{-2n}{x^3}\)
\(= -6n(m + \frac{n}{x^2})^2.\frac{1}{x^3}\)
Cách khác
\(y = (m + \frac{n}{x^2})^3\)
\(⇒ y’ = 3(m + \frac{n}{x^2})^2(m + \frac{n}{x^2})’\)
\(y’ = 3(m + \frac{n}{x^2})^2.(m + n.x^{-2})’\)
\(y’ = 3(m + \frac{n}{x^2})^2.n.(-2).x^{-3}\)
\(y’ = -6n(m + \frac{n}{x^2})^2.\frac{1}{x^3}\)
Câu a: \(y = (x^7 – 5x^2)^3\)
Ta có đạo hàm của hàm số
Đặt \(u = x^7 – 5x^2 ⇒ u’_x = 7x^6 – 10x\)
\( ⇒ y = u^3 ⇒ y’_u = 3u^2\)
\(⇒ y’_x = y’_u.u’_x = 3(x^7 – 5x^2)^2.(7x^6 – 10)\)
Vậy \([(x^7 – 5x^2)^3]’ = 3(x^7 – 5x^2)^2(7x^6 – 10x).\)
Câu b: \(y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2)\)
Ta có đạo hàm của hàm số
\(y’ = [(x^2 + 1)(5 – 3x^2)]’\)
\(= (x^2 + 1)’.(5 – 3x^2) + (x^2 + 1).(5 – 3x^2)’\)
\(= 2x(5 – 3x^2) + (x^2 + 1)(-6x) = -12x^3 + 4x\)
Câu c: \(y = \frac{2x}{x^2 – 1}\)
Ta có đạo hàm của hàm số
\(y’ = (\frac{2x}{x^2 – 1})’ = \frac{(2x)’.(x^2 – 1) – 2x.(x^2 – 1)’}{(x^2 – 1)^2}\)
\(= \frac{2.(x^2 – 1) – 2x.2x}{(x^2 – 1)^2} = \frac{-2(x^2 + 1)}{(x^2 – 1)^2}\)
Câu d: \(y = \frac{3 – 5x}{x^2 – x + 1}\)
Ta có đạo hàm của hàm số
\(y’ = (\frac{3 – 5x}{x^2 – x + 1})’ = \frac{(3 – 5x)(x^2 – x + 1) – (3 – 5x)(x^2 – x + 1)’}{(x^2 – x + 1)^2}\)
\(= \frac{-5(x^2 – x + 1) – (3 – 5x).(2x – 1)}{(x^2 – x + 1)^2} = \frac{5x^2 – 6x – 2}{(x^2 – x + 1)^2}\)
Câu e: \(y = (m + \frac{n}{x^2})^3\) (m, n là các hằng số)
Ta có đạo hàm của hàm số:
\(y’ = ((m + \frac{n}{x^2})^3)’ = 3.(m + \frac{n}{x^2})^2.(m + \frac{n}{x^2})’\)
\(= -\frac{6n}{x^3}.(m + \frac{n}{x^2})^2\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời