Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài Tập 3 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\(sin^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
b. \(8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\)
c. \(2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\)
d. \(tanx – 2cotx + 1 = 0\)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(sin^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức \(sin^2x\frac{x}{2} = 1 – cos^2\frac{x}{2}\)
– Đặt ẩn phụ \(t = cos\frac{x}{2} (t ∈ [-1; 1])\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
– Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: \(cosx = cosα ⇔ x = ±α + k2π; (k ∈ Z)\)
Giải:
\(sin^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
\(⇔ 1 – cos^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
\(⇔ cos^2\frac{x}{2} + 2cos\frac{x}{2} – 3 = 0\)
Đặt \(t = cos\frac{x}{2}, t ∈ [-1; 1]\) thì phương trình trở thành
\(t^2 + 2t – 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1 (thỏa \, \,mãn)\\ t = -3 (không\, \, thỏa \, \, mãn)\end{matrix}\)
Khi \(t = 1 ⇔ cos\frac{x}{2} = 1 ⇔ \frac{x}{2} = k2π\)
\(⇔ x = k4π; (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k4π; (k ∈ Z)\)
Câu b: \(8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức \(cos^2x = 1 – sin^2x\)
– Đặt ẩn phụ \(t = sinx; (t ∈ [-1; 1])\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
– Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin:
\(sinx = sinα ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = α + k2π\\ x = π – α + k2π\end{matrix}; (k ∈ Z)\)
Giải:
\(8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\)
\(⇔ 8(1 – sin^2x) + 2sinx – 7 = 0\)
\(⇔ 8sin^2x – 2sinx – 1 = 0\)
Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1; 1]\) thì phương trình trở thành
\(8t^2 – 2t – 1 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = \frac{1}{2}\\t = -\frac{1}{4} (thỏa \, \,mãn) \end{matrix}\)
\(t = \frac{1}{2} ⇔ sinx = \frac{1}{2}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k2π\\ x = \frac{5π}{6} + k2π \end{matrix}; (k ∈ Z)\)
\(t = -\frac{1}{4} ⇔ sinx = -\frac{1}{4}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = arcsin(-\frac{1}{4}) + k2π\\ x = π – arcsin(-\frac{1}{4}) + k2π \end{matrix}; (k ∈ Z)\)
Câu c: \(2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện xác định
– Đặt ẩn phụ \(t = tanx\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
– Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(tanx = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)\)
Giải:
Điều kiện: \(cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π2 + kπ (k ∈ Z)\)
Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành
\(2t^2 + 3t + 1 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = -1\\ t = -\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} tanx = -1\\ tanx = -\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\frac{π}{4} + kπ\\ x = arctan(-\frac{1}{2}) + kπ \end{matrix} (k ∈ Z) (thỏa\, \, mãn)\)
Câu d: \(tanx – 2cotx + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện xác định
– Sử dụng công thức \(cotx = \frac{1}{tanx}\)
– Đặt ẩn phụ \(t = tanx\), quy đồng, đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(tanx = tanα ⇔ x = α + kπ; (k ∈ Z)\)
Giải:
Điều kiện: \(\begin{cases}sinx ≠ 0\\cosx ≠ 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≠ kπ\\ x ≠ \frac{π}{2} + kπ\end{cases} ⇔ x ≠ \frac{kπ}{2}; (k ∈ Z)\)
\(tanx – 2cotx + 1 = 0\)
\(⇔ tanx – \frac{2}{tanx} + 1 = 0\)
\(⇔ tan^2x + tanx – 2 = 0\)
Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành
\(t^2 + t – 2 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1\\t = -2 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}tanx = 1\\tanx = -2 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{4} + kπ\\x = arctan(-2) + kπ\end{matrix}; (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Câu a: \(sin^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
\(sin^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0 ⇔ 1 – cos^2\frac{x}{2} – 2cos\frac{x}{2} + 2 = 0\)
\(⇔ cos^2\frac{x}{2} + 2cos\frac{x}{2} – 3 = 0\)
Đặt \(t = cos\frac{x}{2}, -1 ≤ t ≤ 1\), ta có phương trình:
\(t^2 + 2t – 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack\begin{matrix} t = 1\\ t = -3 \ \ (loại) \end{matrix}\)
\(t = 1⇔ cos\frac{x}{2} = 1 ⇔ \frac{x}{2} = k2π, k ∈ ℤ ⇔ x = k4π, k ∈ ℤ\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = k4π, k ∈ ℤ\)
Câu b: \(8cos^2x + 2sinx – 7 = 0\)
\(8cos^2x + 2sinx – 7 = 0 ⇔ 8(1 – sin^2x) + 2sinx – 7 = 0\)
\(⇔ 8 – 8sin^2x + 2sinx – 7 = 0\)
\(⇔ 8sin^2x – 2sinx – 1 = 0\)
Đặt \(t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1\), ta có phương trình:
\(8t^2 – 2t – 1 = 0 ⇔ \Bigg \lbrack\begin{matrix} t = \frac{1}{2}\\ t = -\frac{1}{4} \end{matrix}\) (nhận)
\(t = \frac{1}{2} ⇔ sinx = \frac{1}{2} ⇔ sinx = sin\frac{π }{6} ⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k2π\\ x = π -\frac{π}{6} + k2π \end{matrix}; k ∈ ℤ\)
\(t=\frac{1}{4}⇔ sinx=-\frac{1 }{4}⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2π , k ∈ ℤ\\ \\ x=π -arcsin \left (-\frac{1 }{4} \right )+k2π , k ∈ ℤ \end{matrix}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\bigg \lbrack \begin{matrix}x = \frac{π}{6} + k2π\\ x = \frac{5π}{6} + k2π\\x = arcsin(-\frac{1}{4}) + k2π\\ x = π – arcsin(-\frac{1}{4}) + k2π \end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Câu c: \(2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\)
\(2tan^2x + 3tanx + 1=0\)
Đặt \(t = tanx\) (điều kiện \(x ≥ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ ℤ\)
Ta có phương trình: \(2t^2 + 3t + 1 = 0 ⇔ \Bigg \lbrack\begin{matrix} t = 1\\ t = -\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(t = -1 ⇒ tanx = -1 ⇒ tanx = -tan\frac{π}{4}\)
\(⇒ tanx = tan(-\frac{π}{4}) ⇒ x = -\frac{π}{4} + kπ\) (thoả điều kiện)
\(t = \frac{1}{2} ⇒ tanx = \frac{1}{2} ⇒ x = arctan(\frac{1}{2}) + k π\) (thoả điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\frac{π}{4} + kπ\\ x = arctan(\frac{1}{2}) +kπ \end{matrix}, (k ∈ Z))\)
Câu d: \(tanx – 2cotx + 1 = 0\)
\(tanx – 2cotx + 1 = 0\)
Điều kiện \(\begin{cases}x ≥ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\\x ≥ kπ\end{cases}\) hay \(x ≥ k\frac{π}{2}, k ∈ ℤ\)
Đặt \(t = tanx\), ta có phương trình:
\(t – \frac{2}{t} + 1 = 0 ⇒ t^2 + t – 2 = 0 ⇒ \bigg \lbrack\begin{matrix} t = 1 \\ t = -2 \end{matrix}\)
\(t = 1 ⇒ tanx = 1\)
\(⇒ tanx = tan\frac{π}{4} ⇒ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ ℤ\) (thoả điều kiện)
\(t = -2 ⇒ tanx = -2 ⇒ x = arctan(-2) + kπ, k ∈ℤ\) (thoả điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{4} + kπ\\ x = arctan(-2) + kπ \end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời