Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài Tập 4 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\(2sin^2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)
b. \(3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
c. \(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
d. \(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(2sin^2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)
Phương pháp giải:
Phương trình: \(asin^2x + bsinxcosx + cos^2x = d\)
Trường hợp 1: Xét \(cosx = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?
Trường hợp 2: Khi \(cos ≠ 0\).
– Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho \(cos^2x\).
Ta được: \(a\frac{sin^2x}{cos^2x} + b\frac{sinx}{cosx} + c = \frac{d}{cos^2x}\)
Vì \(tanx = \frac{sinx}{cosx}; \frac{1}{cos^2x} = tan^2x + 1\) nên ta đưa phương trình về dạng:
\(atan^2x + btanx + c = d(1 + tan^2x)\)
\(⇔ (a – d)tan^2x + btanx + c – d = 0\)
– Bước 2: Đặt \(t = tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.
– Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(tanx = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)\) và đối chiếu với điều kiện.
Giải:
\(2sin^2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)
– Trường hợp 1: \(cosx = 0 ⇔ sin^2x = 1\), khi đó ta có \(2.1 + 0 – 0 = 0\) (vô nghiệm)
\(⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
– Trường hợp 2: Chia cả hai vế của phương trình cho \(cos^2x\) ta được:
\(2\frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{sinx}{cosx} – 3 = 0 ⇔ 2tan^2x + tanx – 3 = 0\)
Đặt \(t = tanx\), khi đó phương trình trở thành: \(2t^2 + t – 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1\\ t = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)
Với \(t = 1 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Với \(t = -\frac{3}{2} ⇒ tanx = -\frac{3}{2}\)
\(⇔ x = arctan(-\frac{3}{2}) + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) hoặc \(x = arctan(-\frac{3}{2}) + kπ (k ∈ Z)\)
Câu b: \(3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
Khi \(cosx = 0 ⇔ sin^2x = 1\), khi đó ta có \(3.1 – 0 + 0 = 2\) (vô nghiệm)
\(⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(cos^2x\) ta được:
\(3\frac{sin^2x}{cos^2x} – 4\frac{sinx}{cosx} + 5 = \frac{2}{cos^2x}\)
\(⇔ 3tan^2x – 4tanx + 5 = 2(tan^2x + 1)\)
\(⇔ tan^2x – 4tanx + 3 = 0\)
Đặt \(t = tanx\), khi đó phương trình trở thành: \(t^2 – 4t + 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1\\ t = 3 \end{matrix}\)
Với \(t = 1 ⇔ tanx = 1\)
\(⇔ x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Với \(t = 3 ⇒ tanx = 3\)
\(⇔ x = arctan3 + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) hoặc \(x = arctan3 + kπ (k ∈ Z)\)
Cách 2:
Ta có thể đưa về cùng dạng với câu a, như sau:
\(3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
\(⇔ 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2(sin^2x + cos^2x)\)
\(⇔ 3sin^2x – 4sinxcosx +5cos^2x = 2sin^2x + 2cos^2x\)
\(⇔ sin^2x – 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\)
Sau đó giải phương trình tương tự như câu.
Câu c: \(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
\(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
\(⇔ sin^2x + 2sinxcosx – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
\(⇔ 2sin^2x + 4sinxcosx – 4cos^2x = 1\)
– Trường hợp 1: \(cosx = 0 ⇔ sin^2x = 1\), khi đó ta có \(2 + 0 – 0 = 1\) (vô nghiệm)
\(⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
– Trường hợp 2: Chia cả hai vế của phương trình cho \(cos^2x\) ta được:
\(2\frac{sin^2x}{cos^2x} + 4\frac{sinx}{cosx} – 4 = \frac{1}{cos^2x}\)
\(⇔ 2tan^2x + 4tanx – 4 = tan^2x + 1\)
\(⇔ tan^2x + 4tanx – 5 = 0\)
Đặt \(t = tanx\), khi đó phương trình trở thành: \(t^2 + 4t – 5 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1\\ t = -5 \end{matrix}\)
Với \(t = 1 ⇔ tanx = 1 ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Với \(t = -5 ⇒ tanx = -5\)
\(⇔ x = arctan(-5) + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) hoặc \(x = arctan(-5) + kπ (k ∈ Z)\)
Cách 2:
\(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
\(⇔ 2sin^2x + 2sin2x – 4cos^2x = 1\)
\(⇔ 2sin^2x + 2.2sinxcosx – 4cos^2x = sin^2x + cos^2x\)
\(⇔ sin^2x + 4sinxcosx – 5cos^2x = 0\)
Sau đó thực hiện giải câu hỏi như câu a.
Câu d: \(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
\(⇔ 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4sin^2x = -4\)
Khi \(cosx = 0 ⇔ sin^2x = 1\), khi đó ta có \(0 + 0 – 4 = -4 ⇒ x = \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Khi \(cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(cos^2x\) ta được:
\(2 – 6\sqrt{3}\frac{sinx}{cosx} – 4\frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{-4}{cos^2x}\)
\(⇔ 2 – 6\sqrt{3}tanx – 4tan^2x = -4tan^2x – 4\)
\(⇔ 6\sqrt{3}tanx = 6\)
\(⇔ tanx = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(⇔ x = \frac{π}{6} + kπ (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\) hoặc \(x = \frac{π}{6} + kπ (k ∈ Z)\)
Cách 2:
\(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
\(⇔ 2cos^2x – 3\sqrt{3}.2sinxcosx – 4sin^2x = -4(sin^2x + cos^2x)\)
\(⇔ 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4sin^2x = -4sin^2x – 4cos^2x\)
\(⇔ 6cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx = 0\)
\(⇔ 6cosx(cosx – \sqrt{3}sinx) = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx = 0\\cosx – \sqrt{3}sinx = 0 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx = 0\\cosx = \sqrt{3}sinx \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}cosx = 0\\ \frac{cosx}{sinx} = \sqrt{3} \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}cosx = 0\\cotx = \sqrt{3} \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = \frac{π}{2} + kπ\\x = \frac{π}{6} + kπ \end{matrix}\)
Câu a: \(2sin^2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0\)
Ta có thể nhận thấy \(cosx = 0\) không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho \(cos^2x\) ta được:
\(⇒ 2tan^2x + tanx – 3 = 0\)
\(⇔ \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{4} + kπ\\x = arctan(-\frac{3}{2}) + kπ\end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Câu b: \(3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
Ta dễ dàng nhận thấy \(cosx = 0\) không là nghiệm của phương trình:
\(3sin^2x + 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\), nên chia hai vế phương trình cho \(cos^2x\) ta được: \(3tan^2x – 4tanx + 5 = 2(1 + tan^2x)\)
\(⇔ tan^2x – 4tanx + 3 = 0\)
Đặt \(t = tanx\)
Ta có phương trình \(t^2 – 4t + 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 1\\ t = 3 \end{matrix}\)
\(t = 1 ⇒ tanx = 1 ⇒ tanx = tan\frac{π}{4} ⇒ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ ℤ\)
\(t = 3 ⇒ tanx = 3 ⇒ x = arctan(3) + kπ, (k ∈ ℤ)\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{4} + kπ\\ x = arctan(3) + kπ\end{matrix}, (k ∈ ℤ)\)
Câu c: \(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
\(sin^2x + sin2x – 2cos^2x = \frac{1}{2} ⇔ sin^2x + 2sinxcosx – 2cos^2x = \frac{1}{2}\) (3)
\(* cosx = 0 ⇔ x = \frac{π}{2} + kπ, k ∈ ℤ\) không là nghiệm của (3)
\(* cosx ≥ 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:
\(\frac{sin^2x}{cos^2x} + \frac{2sinx}{cosx} – 2 = \frac{1}{2cos^2x} ⇒ tan^2x + 2tanx – 2 = \frac{1}{2}(1 + tan^2x)\)
\(⇒ 2tan^2x + 4tanx – 4 = 1 + tan^2x\)
\(⇒ tan^2x + 4tanx – 5 = 0\)
Đặt \(t = tanx\), ta có phương trình:
\(t^2 + 4t – 5 = 0 ⇔ \bigg \lbrack\begin{matrix} t = 1\\ t = -5 \end{matrix}\)
\(t = 1 ⇒ tanx = 1 ⇒ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ ℤ\)
\(t = -5 ⇒ tanx = -5 ⇒ x = arctan(-5) + kπ, k ∈ ℤ\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{4} + kπ\\ x = arctan(-5) + kπ\end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Câu d: \(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
\(2cos^2x – 3\sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4\)
\(⇔ 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4(1 – cos^2x) + 4 = 0\)
\(⇔ 2cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx – 4 + 4cos^2x + 4 = 0\)
\(⇔ 6cos^2x – 6\sqrt{3}sinxcosx = 2\)
\(⇔ 6cosx(cosx – \sqrt{3}sinx) = 0\)
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx = 0\\cosx – \sqrt{3}sinx = 0 \end{matrix} ⇔ \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + kπ, k ∈ \mathbb{Z}\\cosx = \sqrt{3}sinx \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + kπ, k∈ \mathbb{Z}\\tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ⇔ \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + kπ\\x = \frac{π}{6} + kπ\end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + kπ\\x = \frac{π}{6} + kπ\end{matrix}, k ∈ ℤ\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời