Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài Tập 6 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\(tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1\)
b. \(tanx + tan(x + \frac{π}{4}) = 1\)
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1\)
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện xác định
– Sử dụng công thức \(\frac{1}{tanx} = cotx = tan(\frac{π}{2} – x)\)
– Đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(tanx = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)\)
Giải:
\(tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1\)
Điều kiện: \(\begin{cases}cos(2x + 1) ≠ 0\\cos(3x – 1) ≠ 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}2x + 1 ≠ \frac{π}{2} + kπ\\3x – 1 ≠ \frac{π}{2} + kπ \end{cases} ⇔ \begin{cases}2x ≠ \frac{π}{2} – 1 + kπ\\3x ≠ \frac{π}{2} + 1 + kπ\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≠ \frac{π}{4} – \frac{1}{2} + \frac{kπ}{2}\\x ≠ \frac{π}{6} + \frac{1}{3} + \frac{kπ}{3}\end{cases}\)
Phương trình \(⇔ tan(2x + 1) = \frac{1}{tan(3x – 1)}\)
\(⇔ tan(2x + 1) = cot(3x – 1)\)
\(⇔ tan(2x +1) = tan(\frac{π}{2} – 3x + 1)\)
\(⇔ 2x + 1 = \frac{π}{2} – 3x + 1 + kπ\)
\(⇔ 5x = \frac{π}{2} + kπ\)
\(⇔ x = \frac{π}{10} + \frac{kπ}{5} (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{π}{10} + \frac{kπ}{5} (k ∈ Z)\)
Câu b: \(tanx + tan(x + \frac{π}{4}) = 1\)
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện xác định
– Sử dụng công thức \(tan(a + b) = \frac{tana + tanb}{1 – tanatanb}\)
– Đặt \(t = tanx\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình tìm nghiệm t.
– Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan:
Giải:
Điều kiện: \(\begin{cases}cosx ≠ 0\\cos(x + \frac{π}{4}) ≠ 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ \frac{π}{2} + kπ\\x + \frac{π}{4} ≠ \frac{π}{2} + kπ\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≠ \frac{π}{2} + kπ\\x ≠ \frac{π}{4} + kπ\end{cases}\)
Khi đó,
Phương trình \(⇔ tanx + \frac{tanx + tan\frac{π}{4}}{1 – tanxtan\frac{π}{4}} = 1\)
\(⇔ tanx + \frac{tanx + 1}{1 – tanx} = 1\)
\(⇔ tanx – tan^2x + tanx + 1 = 1 – tanx\)
\(⇔ tan^2x – 3tanx = 0\)
\(⇔ tanx(tanx – 3) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} tanx = 0 \\ tanx = 3\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = kπ \\ x = arctan3 + kπ\\ \end{gathered} \right. (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = kπ\) hoặc \(x = arctan3 + kπ (k ∈ Z)\)
Câu a: \(tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1\)
\(tan(2x + 1) = \frac{1}{tan(3x – 1)}\)
\(⇔ tan(2x + 1) = cot(3x – 1)\)
\(⇔ tan(2x + 1) = tan(\frac{π}{2} – 3x + 1)\)
\(⇔ 2x + 1 = \frac{π}{2} – 3x + 1 + kπ\)
\(⇔ x = \frac{π}{10} + \frac{kπ}{5} (k ∈ Z)\)
Câu b: \(tanx + tan(x + \frac{π}{4}) = 1\)
\(⇔ tanx + \frac{tanx + tan\frac{π}{4}}{1 – tanx.tan\frac{π}{4}} = 1\)
\(⇔ tanx + \frac{tanx + 1}{1 – tanx} = 1\)
Đặt \(t = tanx\), (điều kiện t ≠ 1) phương trình trở thành \(t + \frac{t + 1}{1 – t} = 1\)
\(⇔ -t^2 + 3t = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} t = 0\\ t = 3 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} tanx = 0\\ tanx = 3 \end{matrix} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = kπ\\ x = arctan3 + kπ \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời