Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài Tập 5 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\(cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
b. \(3sin3x – 4cos3x = 5\)
c. \(2sinx + 2cosx – \sqrt{2} = 0\)
d. \(5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(asinx + bcosx = c (a^2 + b^2 > 0)\)
– Chia hai vết cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\), khi đó phương trình có dạng:
\(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}cosx = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
– Đặt \(\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cosα\\\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sinα\end{cases}\) và sử dụng công thức
\(sinxcosα + cosxsinα = sin(x + α)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt \(\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sinα\\\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cosα\end{cases}\) và sử dụng công thức
\(sinxsinα + cosxcosα = cos(x – α)\) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Giải:
\(cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
\(⇔ \frac{1}{2}cosx – \frac{\sqrt{3}}{2}sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(⇔ cosxcos\frac{π}{3} – sinxsin\frac{π}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(⇔ cos(x + \frac{π}{3}) = cos\frac{π}{4}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k2π\\x + \frac{π}{3} = -\frac{π}{4} + k2π \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = -\frac{π}{12} + k2π\\ x = -\frac{7π}{12} + k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -\frac{π}{12} + k2π\) hoặc \(x = -\frac{7π}{12} + k2π (k ∈ Z)\)
Câu b: \(3sin3x – 4cos3x = 5\)
\(⇔ \frac{3}{5}sin3x – \frac{4}{5}cos3x = 1\)
Đặt \(\begin{cases}sinα = \frac{3}{5}\\cosα = \frac{4}{5}\end{cases}\), phương trình trở thành \(sin3xsinα – cos3xcosα = 1\)
\(⇔ cos3xcosα – sin3xsinα = -1\)
\(⇔ cos(3x + α) = -1\)
\(⇔ 3x + α = π + k2π\)
\(⇔ 3x = π – α + k2π\)
\(⇔ x = \frac{π – α}{3} + \frac{k2π}{3} (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{π – α}{3} + \frac{k2π}{3} (k ∈ Z)\) (Với \(sinα = \frac{3}{5}; cosα = \frac{4}{5}\))
Chú ý:
Có thể đặt cách khác như sau:
Đặt \(\begin{cases}cosβ = \frac{3}{5}\\sinβ = \frac{4}{5}\end{cases}\), phương trình trở thành: \(sin3xcosβ – cos3xsinβ = 1\)
\(⇔ sin(3x – β) = 1\)
\(⇔ 3x – β = \frac{π}{2} + k2π\)
\(⇔ 3x = \frac{π}{2} + β + k2π\)
\(⇔ x = \frac{π}{6} + \frac{β}{3} + \frac{k2π}{3}\)
Câu c: \(2sinx + 2cosx – \sqrt{2} = 0\)
\(2sinx + 2cosx – \sqrt{2} = 0\)
\(⇔ 2sinx + 2cosx = \sqrt{2}\)
\(⇔ \frac{2}{2\sqrt{2}}sinx + \frac{2}{2\sqrt{2}}cosx = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(⇔ \frac{1}{\sqrt{2}}sinx + \frac{1}{\sqrt{2}}cosx = \frac{1}{2}\)
\(⇔ sinxsin\frac{π}{4} + cosxcos\frac{π}{4} = \frac{1}{2}\)
\(⇔ cos(x – \frac{π}{4}) = cos\frac{π}{3}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x – \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + k2π\\ x – \frac{π}{4} = -\frac{π}{3} + k2π\end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{7π}{12} + k2π\\ x = -\frac{π}{12} + k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{7π}{12} + k2π\) hoặc \(x = -\frac{π}{12} + k2π (k ∈ Z)\)
Câu d: \(5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)
\(⇔ \frac{5}{13}cos2x + \frac{12}{13}sin2x = 1\)
Đặt \(\begin{cases}\frac{5}{13} = cosα\\\frac{12}{13} = sinα\end{cases}\), khi đó phương trình trở thành \(cos2xcosα + sin2xsinα = 1\)
\(⇔ cos(2x – α) = 1\)
\(⇔ 2x – α = k2π\)
\(⇔ x = \frac{α}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{α}{2} + kπ (k ∈ Z)\) với \(sinα = \frac{12}{13}; cosα = \frac{5}{13}\)
Câu a: \(cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
Giải phương trình: \(cosx – \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
\(⇔ \frac{1}{2}cosx – \frac{\sqrt{3}}{2}sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(⇔ cosx.cos\frac{π}{3} – sinxsin\frac{π}{3} = cos\frac{π}{4}\)
\(⇔ cos(x + \frac{π}{3}) = cos\frac{π}{4}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k2π\\ x + \frac{π}{3} = -\frac{π}{4} + k2π \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -\frac{π}{12} + k2π\\ x = -\frac{7π}{12} + k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Câu b: \(3sin3x – 4cos3x = 5\)
Giải phương trình: \(3sin3x – 4cos3x = 5\)
\(⇔ \frac{3}{5}sin3x – \frac{4}{5}cos3x = 1\)
Đặt \(α = arccos\frac{3}{5}\) thì phương trình trở thành
\(cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1\)
\(⇔ 3x – α = \frac{π}{2} + k2π\)
\(⇔ x = \frac{π}{6} + \frac{α}{3} + \frac{k2π}{3} (k ∈ Z)\)
Câu c: \(2sinx + 2cosx – \sqrt{2} = 0\)
Giải phương trình: \(2sin2x + 2cos2x – \sqrt{2} = 0\)
\(⇔ \frac{1}{\sqrt{2}}sin2x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos2x = \frac{1}{2}\)
\(⇔ sin2x.cos\frac{π}{4} + cos2x.sin\frac{π}{4} = sin\frac{π}{6}\)
\(⇔ sin(2x + \frac{π}{4}) = sin\frac{π}{6}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}2x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6} + k2π\\2x + \frac{π}{4} = π – \frac{π}{6} + k2π \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = -\frac{π}{12} + kπ\\ x = \frac{7π}{12} + kπ \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Câu d: \(5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)
Giải phương trình: \(5cos2x + 12sin2x – 13 = 0\)
\(⇔ \frac{5}{13}cos2x + \frac{12}{13}sin2x = 1\)
Đặt \(α = arccos\frac{5}{13}\) thì phương trình trở thành
\(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1\)
\(⇔ 2x – α = k2π ⇔ x = \frac{α}{2} + kπ, (k ∈ ℤ)\)
(trong đó \(α = arccos\frac{5}{13}\))
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 37 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời