Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
Bài Tập 3 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a. \(\)\(y = x^{\frac{4}{3}}\)
b. \(y = x^{-3}\)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 61 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(y = x^{\frac{4}{3}}\)
Phương pháp giải: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính y’, tìm các điểm mà tại đó có y’ bằng 0 hoặc không xác định, xét dấu y’ và suy ra các chiều biến thiên của hàm số. Tìm các cực trị, các giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận để lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số.
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị hàm số.
Giải:
Hàm số \(y = x^{\frac{4}{3}}\)
– Tập xác định: D = (0; +∞)
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} > 0, ∀x > 0\).
– Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
– Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → +∞}y = +∞\)
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị: Đồ thị hàm số qua \((1; 1), (2; \sqrt[3]{2^4})\)
Câu b: \(y = x^{-3}\)
Hàm số \(y = x^{-3}\)
– Tập xác định: D = R\{0}
– Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = -3x^{-4} < 0, ∀x ∈ D\).
– Hàm nghịch biến trong khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)
– Gới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+}y = +∞; \lim_{x → 0^-}y = -∞; \lim_{x → ±∞}y = 0\)
– Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang.
– Bảng biến thiên
– Đồ thị hàm số: Đồ thị qua \((-1; -1), (1; 1), (2; \frac{1}{8}), (-2; \frac{-1}{8})\)
Hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
Câu a: \(y = x^{\frac{4}{3}}\)
Xét hàm số \(y = x^\frac{4}{3}\)
Tập xác định: D = (0;+∞).
Sự biến thiên: \(y’ = \frac{4}{3}{x^{\frac{1}{3}}} > 0, ∀x > 0\) nên hàm số luôn luôn đồng biến trên (0; +∞).
Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+} y = 0; \lim_{x → +∞}y = +∞\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
Đồ thị của hàm số:
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1) và \((2; 2^{\frac{4}{3}})\).
Câu b: \(y = x^{-3}\)
Xét hàm số \(y = x^{-3}\)
Tập xác định: D = R\{0}
Sự biến thiên: \(y’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} < 0, ∀x ≠ 0.\)
Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+}y = +∞; \lim_{x → 0^-}y = -∞; \lim_{x → ±∞}y = 0\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang và nhận đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
Vậy hàm nghịch biến trong hai khoảng (-∞; 0) và (0; +∞).
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 0) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 1) và (-1; -1).
Câu a: \(y = x^{\frac{4}{3}}\)
Xét hàm số \(y = x^{\frac{4}{3}}\), ta có:
Tập xác định: D = R
\(\lim_{x → ±∞}y = +∞\)
\(y’ = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Câu b: \(y = x^{-3}\)
Xét hàm số \(y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}\), ta có:
Tập xác định: D = R\{0}
\(\lim_{x → 0^-}y = -∞, \lim_{x → 0^+}y = +∞\)
⇒ tiệm cận đứng là x = 0
\(\lim_{x → ±∞}y = 0\) ⇒ tiệm cận ngang là y = 0
Có \(y’ = -\frac{3}{x^4} < 0\) ∀x ∈ R{0} nên hàm số luôn nghịch biến trên khoảng xác định.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa Thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời