Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Ôn Tập Chương II
Nội dung Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Ôn tập dạng toán liên quan đến mũ và lôgarit trong chương trình học phổ thông chủ yếu đòi hỏi các em học sinh về khả năng nhớ công thức và vận dụng linh hoạt các phương pháp giải và bên cạnh đó là xử lý hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao mà không cần khả năng tư duy hay suy luận quá phức tạp. Với bài tập ôn tập chương II hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit giúp các em nắm bắt công thức và chương trình học tốt hơn.
1. Công Thức Mũ Và Lũy Thừa
Cho a và b > 0, m và n là những số thực tùy ý, ta có các công thức mũ và lũy thừa sau:
1. \(\)\(a^n = \underbrace{a.a…a}_{n\,\,thừa\,\,số}\)
2. \(a^0 = 1; ∀a ≠ 0\)
3. \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
4. \(a^m.a^n = a^{m + n}\)
5. \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m – n}\)
6. \((a.b)^n = a^n.b^n\)
7. \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)
8. \((a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n}\)
9. \(\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}\)
10. \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\)
11. \(a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)
12. \(\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases}a, \, \, với \, \, n = 2k + 1\\|a| \, \, với \, \, n = 2k\end{cases}\)
2. Công Thức Lôgarit
Cho a < 0 ≠ 1, b > 0 và x, y > 0, ta có các công thức sau:
1. \(log_a1 = 0, log_a = 1\)
2. \(log_aa^m = m\)
3. \(a^{log_ab} = b\)
4. \(log_a(x.y) = log_ax + log_ay\)
5. \(log_a(\frac{x}{y}) = log_ax – log_ay, log_a(\frac{1}{y}) = -log_ay\)
6. \(log_a(\frac{x}{y}) = -log_a(\frac{y}{x})\)
7. \(log_ax^α = αlog_ax, log_ax^2 = 2log_a|x|\)
8. \(log_{a^α}x = \frac{1}{α}log_ax, log_{a^β}x^α = \frac{α}{β}log_ax\)
9. \(lg b = log b = log_{10}b\) (logarit thập phân)
10. \(ln b = log_eb, (e = 2,718…)\) (logarit tự nhiên hay log nêpe)
Công thức đổi cơ số:
\(log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}\)
\(log_ab = \frac{ln b}{ln a}; log_ab = \frac{lg b}{lg a}\)
\(log_ab = \frac{1}{log_ba}; log_ab.log_bx = log_ax\)
\(a^{log_bc} = c^{log_ba}\)
3. Đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Đạo hàm của hàm số sơ cấp:
1. \((x^α)’ = α.x^{α – 1}\)
2. \((e^x)’ = e^x\)
3. \((a^x)’ = a^x.lna\)
4. \((ln|x|)’ = \frac{1}{x}\)
5. \((log_a|x|)’ = \frac{1}{x ln a}\)
Đạo hàm của hàm số hợp
\((u^α)’ = α.u^{α – 1}.u’\)
\((e^u)’ = e^u.u’\)
\((a^u)’ = a^u.u’.ln u\)
\((ln|u|)’ = \frac{u’}{u}\)
\((log_a|u|)’ = \frac{u’}{u ln a}\)
4. Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
a. Hàm số lũy thừa
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa \(y = x^α\) trên khoảng (0; +∞)
\(α > 0\) | \(α < 0\) | |
Đạo hàm | \(y’ = αx^{α – 1}\) | \(y’ = αx^{α – 1}\) |
Chiều biến thiên | Hàm số luôn đồng biến | Hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cận | Không có | Tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cần đứng là trục Oy. |
Đồ thị | Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) | Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) |
b. Hàm số mũ
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ \(y = a^x(a > 0, a ≠ 1)\)
Tập xác định | (-∞; +∞) |
Đạo hàm | \(y’ = a^xlna\) |
Chiều biến thiên | a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cần | trục Ox là tiệm cận ngang |
Độ thị | đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nắm phía trên trục hoành \((y = a^x > 0, ∀x ∈ R)\) |
c. Hàm Số Lôgarit
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lôgarit \(y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)\)
Tập xác định | (0; +∞) |
Đạo hàm | \(y’ = \frac{1}{xlna}\) |
Chiều biến thiên | a > 1: hàm số đồng biến 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cần | Trục Oy là tiệm cận đứng |
Độ thị | đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung. |
Bài Tập Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Hướng dẫn giải bài tập Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bài tập giúp các bạn học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Bài Tập 1 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Bài Tập 2 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Hãy nêu các tính chất của hàm số lũy thừa.
Bài Tập 3 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Bài Tập 4 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a. \(y = \frac{1}{3^x – 3}.\)
b. \(y = log\frac{x – 1}{2x – 3}.\)
c. \(y = log\sqrt{x^2 – x – 12}.\)
d. \(y = \sqrt{25^x – 5^x}\).
Bài Tập 5 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Biết \(4^x + 4^{-x} = 23\). Hãy tính \(2^x + 2^{-x}\)
Bài Tập 6 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho \(log_ab = 3, log_ac = -2\). Hãy tính \(log_ax\) với:
a. \(x = a^3b^2\sqrt{x}\)
b. \(x = \frac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}\)
Bài Tập 7 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình:
a. \(3^{x + 4} + 3.5^{x + 3} = 5^{x + 4} + 3^{x + 3}\)
b. \(25^x – 6.5^x + 5 = 0\)
c. \(4.9^x + 12^x – 3.16^x = 0\)
d. \(log_7(x – 1)log_7x = log_7x\)
e. \(log_3x + log_{\sqrt{3}}x + log_{\frac{1}{3}}x = 6\)
f. \(log\frac{x + 8}{x – 1} = logx\)
Bài Tập 8 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình:
a. \(2^{2x – 1} + 2^{2x – 2} + 2^{2x – 3} ≥ 448\)
b. \((0,4)^x – (2,5)^{x + 1} > 1,5\)
c. \(log_3[log_{\frac{1}{2}}(x^2 – 1)] < 1\)
d. \(log_{0,2}^2x – 5log_{0,2}x < -6\)
Ở trên là nội dung Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Giúp bạn ôn tập các dạng toán về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và ghi nhớ các công thức. Chúc các bạn học tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời