Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
Nội dung Bài 3: Phép Đối Xứng Trục thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài học giúp các bạn định nghĩa phép đối xứng trục. Phép đối xứng trục có các tính chất của phép dời hình. Trục đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng. Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua mỗi trục toạ độ. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
Trong thực tế ta thường gặp rất nhiều hình có trục đối xứng như hình con bướm, ảnh mặt trước của một số ngôi nhà, mặt bàn cờ tướng…. Việc nghiên cứu phép đối xứng trục trong mục này cho ta một cách hiểu chính xác khái niệm đó.
I. Định Nghĩa
Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đội xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (hình 1.10).
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là \(\)\(Đ_d\).
Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.
Ví dụ 1: Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d và ngược lại.
Câu hỏi 1 bài 3 trang 9 SGK hình học lớp 11: Cho hình thoi ABCD (Hình 1.12). Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.
Giải:
– Nếu M ∈ d thì ảnh của M qua phép đối xứng trục d chính là M.
– Nếu M ∉ d thì ảnh của M qua phép đối xứng trục d là M’ thỏa mãn: d là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Qua phép đối xứng trục AC
ảnh của A là A (vì A ∈ AC)
ảnh của B là D
ảnh của C là C (vì C ∈ AC)
ảnh của D là B.
Nhận xét:
1. Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M_0\) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó \(M’ = Đ_d(M) ⇔ \overrightarrow{M_0M’} = -\overrightarrow{M_0M}\)
2. \(M’ = Đ_d(M) ⇔ M = Đ_d(M’)\)
Câu hỏi 2 bài 3 trang 9 SGK hình học lớp 11: Chứng minh nhận xét 2.
Giải:
\(M’ = Đ_d(M)\) nghĩa là phép biến hình này biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
– \(M ∈ d ⇒ M’ = Đ_d(M) ≡ M ⇒ M = Đ_d(M’)\)
– \(M ∉ d ⇒ M’ = Đ_d(M)\) thì d là đường trung trực của MM’.
⇒ M’ ∉ d và phép biến hình biến mỗi điểm M’ thành M sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng M’M.
\(⇒ M = Đ_d(M’)\)
II. Biểu Thức Tọa Độ
1. Cho hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x; y), gọi \(M’ = Đ_d(M) = (x’; y’)\) (Hình 1.13) thì \(\begin{cases}x’ = x\\y’ = y\end{cases}\)
Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.
Câu hỏi 3 bài 3 trang 9 SGK hình học lớp 11: Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(0; -5) qua phép đối xứng trục Ox.
Giải: Với mỗi điểm M(x; y): gọi \(M’ = Đ_{Ox}(M) = (x’; y’)\) thì M'(x; -y)
Gọi A'(a, b) và B'(c, d) lần lượt là ảnh của A(1, 2) và B(0, -5) qua phép đối xứng trục qua trục Ox.
\(⇒ \begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases} và \begin{cases}c = 0\\d = 5\end{cases}\)
Hay \(A'(1; -2); B'(0; 5)\)
2. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x; y), gọi \(M’ = Đ_d(M) = (x’; y’)\) (Hình 1.14) thì:
\(\begin{cases}x’ = -x\\y’ = y\end{cases}\)
Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.
Câu hỏi 4 bài 3 trang 10 SGK hình học lớp 11: Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Oy.
Giải: Với mỗi điểm M(x; y): gọi \(M’ = Đ_{Oy}(M) = (x’; y’)\) thì M'(-x; y)
Gọi A'(a, b) và B'(c, d) lần lượt là ảnh của A(1; 2) và B(5; 0) qua phép đối xứng trục qua trục Oy.
\(⇒ \begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}; \begin{cases}c = -5\\d = 0\end{cases}\)
\(⇒ A'(-1; 2); B'(-5; 0)\)
III. Tính Chất
Người ta chứng minh được các tính chất sau.
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Câu hỏi 5 bài 3 trang 10 SGK hình học lớp 11: Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1.
Giải:
Gọi \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)\)
Xét phép đối xứng qua trục Ox thì A, B biến thành \(A'(x_A; -y_A), B'(x_B; -y_B)\)
Khi đó:
\(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
\(A’B’ = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (-y_B + y_A)^2}\)
\(= \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
\(= AB\)
\(⇒ A’B’ = AB ⇒ dpcm\)
Chú ý:
Trực quan các em có thể lấy hai điểm A, B cụ thể như sau:
Lấy ảnh A’, B’ của hai điểm A(1; 2) và B(2; 3) qua phép đối xứng trục Ox.
Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox, ta có:
\(A'(1; -2), B'(2; -3)\)
\(AB = \sqrt{(2 – 1)^2 + (3 – 2)^2}\)
\(= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(A’B’ = \sqrt{(2 – 1)^2 + (-3 – (-2))^2}\)
\(= \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)
\(⇒ A’B’ = AB\)
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (hình 1.15).
IV. Trục Đối Xứng Của Một Hình
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó.
Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ 2:
a. Mỗi hình trong hình 1.16 là hình có trục đối xứng.
b. Mỗi hình trong hình 1.17 là không có trục đối xứng.
Câu hỏi 6 bài 3 trang 11 SGK hình học lớp 11:
a. Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?
b. Tìm một số hình tứ giác nó có trục đối xứng.
Giải:
Câu a: Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?
Các chữ cái có trục đối xứng là: H; A; O
Câu b: Tìm một số hình tứ giác nó có trục đối xứng.
Một số hình tứ giác có trục đối xứng là: hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân.
Bài Tập SGK Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
Hướng dẫn giải bài tập sach giáo khoa Bài 3: Phép Đối Xứng Trục thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 11 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Bài Tập 2 Trang 11 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài Tập 3 Trang 11 SGK Hình Học Lớp 11
Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng.
Ở trên là nội dung Bài 3: Phép Đối Xứng Trục thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các bạn sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 8: Phép Đồng Dạng
- Bài 7: Phép Vị Tự
- Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
- Bài 2: Phép Tịnh Tiến
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời