Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 3: Công Thức Lượng Giác
Nội dung Bài 3: Công Thức Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc. Từ các công thức cộng suy ra công thức góc nhân đôi. Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích. Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
I. Công Thức Cộng
Công thức cộng là những công thức biểu thị \(cos(a ± b), sin(a ± b), tan(a ± b), cot(a ± b)\) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b. Ta có
\(\)\(cos(a – b) = cosacosb + sinasinb\)
\(cos(a + b) = cosacosb – sinasinb\)
\(sin(a – b) = sinacosb – cosasinb\)
\(sin(a + b) = sinacosb + cosasinb\)
\(tan(a – b) = \frac{tana – tanb}{1 + tanatanb}\)
\(tan(a + b) = \frac{tana + tanb}{1 – tanatanb}\)
Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa.
Ta thừa nhận công thức đầu. Từ công thức đó có thể chứng minh dễ dàng các công thức còn lại. Chẳng hạn
\(cos(a + b) = cos [a – (-b)] = cosacos(-b) + sinasin(-b) = cosacosb – sinasinb.\)
\(sin(a – b) = cos[\frac{π}{2} – (a – b)] = cos[(\frac{π}{2} – a) + b]\)
\(= cos(\frac{π}{2} – a)cosb – sin(\frac{π}{2} – a)sinb\)
\(= sinacosb – cosasinb.\)
Câu hỏi 1 bài 3 trang 149 SGK đại số lớp 10: Hãy chứng minh công thức \(sin(a + b) = sinacosb + cosasinb\).
Giải:
\(sin(a + b) = cos[\frac{π}{2} – (a + b)] = cos[(\frac{π}{2} – a) – b]\)
\(= cos(\frac{π}{2} – a)cosb + sin(\frac{π}{2} – a)sinb\)
\(= sinacosb + cosasinb\)
Ví dụ 1: Tính \(tan\frac{13π}{12}\)
Giải: Ta có
\(tan\frac{13π}{12} = tan(\frac{π}{12} + π) = tan\frac{π}{12} = tan(\frac{π}{3} – \frac{π}{4})\)
\(= \frac{tan\frac{π}{3} – tan\frac{π}{4}}{1 + tan\frac{π}{3}tan\frac{π}{4}} = \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3}}\)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\(\frac{sin(a + b)}{sin(a – b)} = \frac{tana + tanb}{tana – tanb}\)
Giải: Ta có
\(\frac{sin(a + b)}{sin(a – b)} = \frac{sinacosb + cosasinb}{sinacosb – cosasinb}\)
Chia cả tử và mẫu của vế phải cho \(cosacosb\), ta được điều phải chứng minh.
II. Công Thức Nhân Đôi
Cho \(a = b\) trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau.
\(sin2a = 2sinacosa\)
\(cos2a = cos^2a – sin^2a = 2cos^2a – 1 = 1 – 2sin^2a\)
\(tan2a = \frac{2tana}{1 – tan^2a}\)
Từ các công thức nhân đôi suy ra các công thức
\(cos^2a = \frac{1 + cos2a}{2}\)
\(sin^2a = \frac{1 – cos2a}{2}\)
\(tan^2a = \frac{1 – cos2a}{1 + cos2a}\)
Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc.
Ví dụ 1: Biết \(sina + cosa = \frac{1}{2}\), tính \(sin2a\).
Giải: Ta có \(1 = sin^2a + cos^2a = (sina + cosa)^2 – 2sinacosa\)
\(= (\frac{1}{2})^2 – sin2a.\)
Suy ra \(sin2a = -\frac{3}{4}.\)
Ví dụ 2: Tính \(cos\frac{π}{8}\)
Giải: Ta có \(\frac{\sqrt{2}}{2} = cos\frac{π}{4} = 2cos^2\frac{π}{8} – 1\)
Suy ra \(2cos^2\frac{π}{8} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \(cos^2\frac{π}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\)
Vì \(cos\frac{π}{8} > 0\) nên suy ra \(cos\frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\)
III. Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng, Tổng Thành Tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
\(cosacosb = \frac{1}{2}[cos(a – b) + cos(a + b)]\)
\(sinasinb = \frac{1}{2}[cos(a – b) – cos(a + b)]\)
\(sinacosb = \frac{1}{2}[sin(a – b) + sin(a + b)]\)
Các công thức trên được gọi là các công thức biến đổi tích thành tổng.
Câu hỏi 2 bài 3 trang 152 SGK đại số lớp 10: Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức trên.
Giải:
– Từ: \(cos(a – b) = cosacosb + sinasinb\)
\(cos(a + b) = cosacosb – sinasinb\)
\(⇒ cos(a – b) + cos(a + b)= 2cosacosb\)
\(⇒ cosa cosb = \frac{1}{2}[cos(a – b) + cos(a + b)]\)
– Tương tự: \(cos(a – b) – cos(a + b) = 2sinasinb\)
\(⇒ sinasinb = \frac{1}{2}[cos(a – b) – cos(a + b)]\)
– Từ: \(sin(a – b) = sinacosb – cosasinb\)
\(sin(a + b) = sinacosb + cosasinb\)
\(⇒ sin(a – b) + sin (a + b) = 2 sinacosb\)
\(⇒ sina cosb = \frac{1}{2}[sin(a – b) + sin(a + b)]\)
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức
\(A = sin\frac{π}{8}cos\frac{3π}{8}; B = sin\frac{13π}{24}sin\frac{5π}{24}\)
Giải: Ta có
\(A = sin\frac{π}{8}cos\frac{3π}{8} = \frac{1}{2}[sin(\frac{π}{8} – \frac{3π}{8}) + sin(\frac{π}{8} + \frac{3π}{8})]\)
\(= \frac{1}{2}[sin(-\frac{π}{4}) + sin\frac{π}{2}] = \frac{1}{2}(1 – \frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(B = sin\frac{13π}{24}sin\frac{5π}{24} = \frac{1}{2}[cos(\frac{13π}{24} – \frac{5π}{24}) – cos(\frac{13π}{24} + \frac{5π}{24})]\)
\(= \frac{1}{2}(cos\frac{π}{3} – cos\frac{3π}{4}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 + \sqrt{2}}{4}\)
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
Câu hỏi 3 bài 3 trang 152 SGK đại số lớp 10: Bằng cách đặt \(u = a – b, v = a + b\), hãy biến đổi \(cosu + cosv, sinu + sinv\) thành tích.
Giải:
Ta đặt:
\(\begin{cases}u = a – b\\v = a + b\end{cases} ⇒ \begin{cases}u + v = 2a\\u – v = -2b\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}a = \frac{u + v}{2}\\b = \frac{v – u}{2}\end{cases}\)
\(⇒ cosu + cosv = cos(a – b) + cos(a + b)\)
\(= cosacosb + sinasinb + cosacosb – sinasinb\)
\(= 2cosacosb\)
\(= 2cos\frac{u + v}{2}cos\frac{v – u}{2}\)
\(= 2cos\frac{u + v}{2}cos(-\frac{u – v}{2})\)
\(= 2cos\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}\)
\(⇒ cosu + cosv = 2cos\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}sinu + sinv = sin(a – b) + sin(a + b)\)
\(= sinacosb – sinbcosa + sinacosb + sinbcosa\)
\(= 2sinacosb\)
\(= 2sin\frac{u + v}{2}cos\frac{v – u}{2}\)
\(= 2sin\frac{u + v}{2}cos(-\frac{u – v}{2})\)
\(= 2sin\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}\)
\(⇒ sinu + sinv = 2sin\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}\)
Ta gọi các công thức sau đây là các công thức biến đổi tổng thành tích
\(cosu + cosv = 2cos\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}\)
\(cosu – cosv = -2sin\frac{u + v}{2}sin\frac{u – v}{2}\)
\(sinu + sinv = 2sin\frac{u + v}{2}cos\frac{u – v}{2}\)
\(sinu – sinv = 2cos\frac{u + v}{2}sin\frac{u – v}{2}\)
Ví dụ 2: Tính
\(A = cos\frac{π}{9} + cos\frac{5π}{9} + cos\frac{7π}{9}\)
Giải: Ta có
\(A = (cos\frac{π}{9} + cos\frac{7π}{9}) + cos\frac{5π}{9}\)
\(= 2cos\frac{4π}{9}cos\frac{π}{3} – cos(π – \frac{5π}{9})\)
\(= cos\frac{4π}{9} – cos\frac{4π}{9} = 0\)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) ta có \(sinA + sinB + sinC = 4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
Giải: Trong tam giác \(ABC\) ta có \(A + B + C = π.\)
Từ đó suy ra \(\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} – \frac{C}{2}.\)
Vì vậy, \(sin\frac{A + B}{2} = cos\frac{C}{2}, sin\frac{C}{2} = cos\frac{A + B}{2}\)
Bây giờ ta có:
\(sinA + sinB + sinC = 2sin\frac{A + B}{2}cos\frac{A – B}{2} + 2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)
\(= 2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A – B}{2} + sin\frac{C}{2})\)
\(= 2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A – B}{2} + cos\frac{A + B}{2})\)
\(= 4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 3: Công Thức Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 153 SGK Đại Số Lớp 10
Tính
a. \(cos225^0, sin240^0, cot(-15^0), tan75^0\)
b. \(sin\frac{7π}{12}, cos(-\frac{π}{12}), tan\frac{13π}{12}\)
Bài Tập 2 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Tính
a. \(cos(α + \frac{π}{3})\), biết \(sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{π}{2}\)
b. \(tan(α – \frac{π}{4})\), biết \(cosα = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{π}{2} < α < π.\)
c. \(cos(a + b), sin(a – b)\), biết \(sina = \frac{4}{5}, 0^0 < a < 90^0\) và \(sinb = \frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0.\)
Bài Tập 3 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Rút gọn các biểu thức
a. \(sin(a + b) + sin(\frac{π}{2} – a)sin(-b)\)
b. \(cos(\frac{π}{4} + a)cos(\frac{π}{4} – a) + \frac{1}{2}sin^2a\)
c. \(cos(\frac{π}{2} – 1)sin(\frac{π}{2} – b) – sin(a – b)\)
Bài Tập 4 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh các đẳng thức
a. \(\frac{cos(a – b)}{cos(a + b)} = \frac{cotacotb + 1}{cotacotb – 1}\)
b. \(sin(a + b)sin(a – b) = sin^2a – sin^2b = cos^2b – cos^2a\)
c. \(cos(a + b)cos(a – b) = cos^2a – sin^2b = cos^2b – sin^2a\)
Bài Tập 5 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Tính \(sin2a, cos2a, tan2a\), biết
a. \(sina = -0,6\) và \(π < a < \frac{3π}{2}\)
b. \(cos = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\)
c. \(sina + cosa = \frac{1}{2}\) và \(\frac{3π}{4} < a < π\)
Bài Tập 6 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Cho \(sin2a = -\frac{5}{9}\) và \(\frac{π}{2} < a < π\). Tính \(sina\) và \(cosa\).
Bài Tập 7 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
Biến đổi thành tích các biểu thức sau
a. \(1 – sinx\)
b. \(1 + sinx\)
c. \(1 + 2cosx\)
d. \(1 – 2sinx\)
Bài Tập 8 Trang 155 SGK Đại Số Lớp 10
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{sinx + sin3x + sin5x}{cosx + cos3x + cos5x}\).
Ở trên là nội dung Bài 3: Công Thức Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu học tập thật tốt. Chúc các bạn học tốt toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời