Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
Bài Tập 1 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(\)\(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người (T được gọi là chu kì bán ra).
Gọi \(u_n\), là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a. Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
b. Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\).
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
Phương pháp giải: Tính \(u_1; u_2; u_3;…\) từ quy luật đó dự đoán công thức của \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giải:
– Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn \(\frac{1}{2}\).
– Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn \(\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}\).
– Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn \(\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}\).
Do đó \(u_1 = \frac{1}{2}; u_2 = \frac{1}{2^2}; u_3 = \frac{1}{2^3},….\)
Từ đó ta dự đoán công thức \(u_n = \frac{1}{2^n} ∀n ≥ 1\).
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
Hiển nhiên công thức trên đúng với \(n = 1\).
Giả sử công thức đúng với mọi \(K ≥ 1\), tức là có \(u_k = \frac{1}{2^k}\), ta chứng minh công thức đó đúng với mọi \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh: \(u_{k + 1} = \frac{1}{2^{k + 1}}\)
Ta có: \(u_{k + 1} = \frac{u_k}{2} = \frac{1}{2^k} : 2 = \frac{1}{2^k}.\frac{1}{2} = \frac{1}{2^{k + 1}}\)
Vậy \(u_n = \frac{1}{2^n} ∀n ∈ N^∗\).
Câu b: Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
Phương pháp giải: Tính \(limu_n\)
Giải: \(limu_n = lim(\frac{1}{2})^n = 0\)
Câu c: Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\).
Phương pháp giải: Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu \(u_n < 10^{-6}\); tìm n.
Giải:
Đổi \(10^{-6}g = \frac{1}{10^6}.\frac{1}{10^3}kg = \frac{1}{10^9}kg\)
Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \(u_n = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{10^9} ⇔ 2^n > 10^9 ⇔ n ≥ 30\).
Nói cách khác, sau chu kì thứ 30 (nghĩa là sau 30.24000 = 720000(năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
Câu a: Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
Sau chu kì thứ nhất khối lượng chất phóng xạ còn lại là: \(u_1 = \frac{1}{2} (kg)\)
Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2 = (\frac{1}{2})^2\)
Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2 = (\frac{1}{2})^3\)
…….
Sau chu kì thứ n khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_n = (\frac{1}{2})^n\)
Như vậy số hạng quát của \(u_n\) là \(u_n = \frac{1}{2^n}\)
Câu b: Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
Xét \((u_n)\) biết \(u_n = \frac{1}{2^n}\). Ta thấy khi \(n → +∞\) thì \(2^n → +∞\) nên \(u_n = \frac{1}{2^n} → 0\). Vậy \(limu_n = 0.\)
Câu c: Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\).
Để ý rằng \(10^{-6}g = 10^{-6}.10^{-3}kg = \frac{1}{10^9} kg.\)
Từ trên ta có thể suy ra: Khi \(\frac{1}{2^n} < \frac{1}{10^9} ⇔ 2^n > 10^9\) thì chất phóng xạ không còn độc hại nữa.
Chọn \(n_0 = 36\) thì \(2^{36} = (2^4)^9 = 16^9 > 10^9\)
Vậy, cứ sau chu kì thứ 36 tức là sau \(36.24000 = 864000\) năm thì không còn lo lắng về sự độc hại.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số Thuộc Chương IV: Giới Hạn Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 2 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời