Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
Bài Tập 2 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Biết dãy số \(\)\((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n – 1| < \frac{1}{n^3}\) với mọi n. Chứng minh rằng \(limu_n = 1\).
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Vì \(lim\frac{1}{n^3} = 0\) nên theo định nghĩa thì \(\frac{1}{n^3}\) luôn nhỏ hơn một số dương A bé tùy ý, kể từ một số hạng \(N_0\) nào đó trở đi.
\((\frac{1}{n^3} < A ⇔ n^3 > \frac{1}{A} ⇒ n > \sqrt[3]{\frac{1}{A}}\). Chọn \(N_0 = [\sqrt[3]{\frac{1}{A}}] + 1\), tức là số hạng thứ n mà \(n > N_0\) thì \(\frac{1}{n^3}\) luôn nhỏ hơn A)
Mà \(|u_n – 1| < \frac{1}{n^3}\) nên \(|u_n – 1| < A\) với mọi \(n > N_0 = [\sqrt[3]{\frac{1}{A}}] + 1\)
Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 thì lim \((u_n – 1) = 0\).
\(⇒ limu_n = 1 (đpcm)\)
Cách khác
Các em có thể sử dụng định lý sau:
Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Nếu có \(|u_n| ≤ v_n\) và \(limv_n = 0\) thì \(limu_n = 0\).
Cụ thể:
Vì \(|u_n – 1| < \frac{1}{n^3}\) và \(lim\frac{1}{n^3} = 0\) nên \(lim(u_n – 1) = 0 ⇔ limu_n = 1\).
Cho \(d > 0\) nhỏ tùy ý. Ta chọn số tự nhiên \(n_0\) sao cho \(\frac {1}{n_0^3} < d\).
Ta có \(n_0^3 > \frac{1}{d} ⇔ n_0 > \sqrt[3]{\frac{1}{d}}\). Khi đó thì với mỗi số hạng \(u_n\) của dãy số \((u_n)\) mà \(n ≥ n_0\) ta đều có \(|u_n – 1| < \frac{1}{n_0^3} < d\).
Theo định nghĩa thì \(lim(u_n – 1) = 0\) hay \(limu_n = 1\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số Thuộc Chương IV: Giới Hạn Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời