Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\)\(d\) trong các trường hợp sau:
a. d đi qua điểm M(5; 4; 1) có vec tơ chỉ phương \(\vec{a}(2; -3; 1)\) ;
b. d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: x + y – z + 5 = 0
c. d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình:
\(\begin{cases}x = 1 + 2t\\ y = -3 + 3t\\ z = 4t\end{cases}\)
d. d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học 12
Trong không gian, đường thẳng ∆ đi qua \(M(x_0, y_0, z_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (a; b; c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
\(∆: \begin{cases}x = x_0 + at\\ y = y_0 + bt\\ z = z_0 + ct\end{cases}.(t ∈ R)\) (t được gọi là tham số).
Câu a: Đường thẳng d đi qua điểm M(5 ;4 ;1) có vectơ chỉ phương \(\vec{a}=(2; -3; 1)\)nên có phương trình là:
\(\begin{cases}x = 5 + 2t\\ y = 4 – 3t\\ z = 1 + t\end{cases}\), với t ∈ R.
Câu b: Mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0 có VTPT là \(\vec{n} = (1; 1; -1)\)
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)nên d sẽ song song với phương của \(\vec{n}=(1;1;-1)\).
Suy ra \(\vec{n} = (1; 1; -1)\) là một VTCP của đường thẳng d.
Mặc khác d đi qua A(2; -1; 3) nên có phương trình tham số là\(\begin{cases}x = 2 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\).
Câu c: Đường thẳng ∆: \(\begin{cases}x = 2 + t \\ y = -3 + 3t \\ z = 4t\end{cases}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{a} =(2; 3; 4)\).
Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên \(\vec{a}=(2;3;4)\) là một VTCP của d.
Mặc khác d đi qua B(2; 0; -3) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\begin{cases}x = 2 + 2t \\ y = 3t \\ z = -3 + 4t\end{cases}\).
Câu d: Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4) có vectơ chỉ phương
\(\vec{PQ}(4 ; 2 ; 1)\) nên phương trình tham số có dạng:
\(\begin{cases}x = 1 + 4t \\ y = 2 + 2t, t ∈ R. \\ z = 3 + t\end{cases}\)
Cách giải khác
Phương pháp:
Trong không gian, đường thẳng ∆ đi qua \(M(x_0, y_0, z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u = (a; b; c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
\(∆: \begin{cases}x = x_0 + at\\ y = y_0 + bt\\ z = z_0 + ct\end{cases}.(t ∈ R)\) (t được gọi là tham số).
Lời giải:
Câu a:
Đường thẳng d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (2 ; -3 ; 1)\) nên có phương trình là:
\(\begin{cases}x = 5 + 2t\\y = 4 – 3t\\z = 1 + t\end{cases}\)
Câu b:
Mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0 có VTPT là \(\vec{n} = (1; 1; -1)\)
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nên d sẽ song song với phương của \(\vec{n} = (1; 1; -1)\).
Suy ra \(\vec{n}=(1;1;-1)\) là một VTCP của đường thẳng d.
Mặc khác d đi qua A(2;-1;3) nên có phương trình tham số là \(\begin{cases}x = 2 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\).
Câu c:
Đường thẳng ∆: \(\begin{cases}x = 2 + t \\ y = -3 + 3t \\ z = 4t\end{cases}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{a} = (2; 3; 4)\).
Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên \(\vec{a} = (2; 3; 4)\) là một VTCP của d.
Mặc khác d đi qua B(2;0;-3) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\begin{cases}x = 2 + 2t \\ y = 3t \\ z = -3 + 4t\end{cases}\).
Câu d:
Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4) nên d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{PQ} = (4 ; 2 ; -1)\).
Mặc khác d đi qua P(1;2;3) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\begin{cases}x = 1 + 4t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 – t\end{cases}\).
Cách giải khác
Câu a: \(y = x^2 – 3x + 2\)
Đường thẳng d đi qua điểm M(5; 4; 1) có vectơ chỉ phương \(\vec{a}(2; -3; 1)\)
Phương pháp giải: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua \(M(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}(a; b; c)\) là:
\(\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt (t ∈ R)\\z = z_0 + ct\end{cases}\)
Giải: Phương trình đường thẳng d có dạng: \(\begin{cases}x = 5 + 2t\\y = 4 – 3t, với t ∈ R\\z = 1 + t\end{cases}\)
Câu b: \(y = – 2x^2 + 4x – 3\)
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: x + y – z + 5 = 0.
Phương pháp giải: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì \(\vec{u_d} = \vec{n_{(α)}}\)
Giải: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0 nên có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = \vec{n_{(α)}} = (1; 1; -1)\)
Vậy phương trình tham số của d có dạng: \(\begin{cases}x = 2 + t\\y = -1 + t (t ∈ R)\\z = 3 – t\end{cases}\)
Câu c: \(y = x^2 – 2x\)
Đường thẳng d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng Δ có phương trình: \(\begin{cases}x = 1 + 2t\\y = -3 + 3t\\z = 4t\end{cases}\)
Phương pháp giải: Đường thẳng d song song đường thẳng ∆ thì \vec{u_d} = \vec{u_Δ}\)
Giải: \(\vec{u}(2; 3; 4)\) là vectơ chỉ phương của Δ. Vì d // Δ nên \(\vec{u}\) cũng là vectơ chỉ phương của d. Phương trình tham số của d có dạng:
\(\begin{cases}x = 2 + 2t\\y = 3t (t ∈ R)\\z = -3 + 4t\end{cases}\)
Câu d: \(y = – x^2 + 4\)
Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4)
Phương pháp giải: Đường thẳng d đi qua hai điểm P, Q thì nhận \(\vec{PQ}\) làm một vectơ chỉ phương.
Giải: Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4) nên nhận \(\vec{PQ}(4; 2; 1)\) là một vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số có dạng: \(\begin{cases}x = 1 + 4t\\y = 2 + 2t (t ∈ R)\\z = 3 + t\end{cases}\)
Chú ý: Các em cũng có thể chọn Q làm điểm đi qua thì sẽ được phương trình
\(\begin{cases}x = 5 + 4t\\y = 4 + 2t (t ∈ R)\\z = 4 + 4\end{cases}\)
Hai phương trình này nhìn qua có khác nhau nhưng đều là phương trình tham số của cùng một đường thẳng.
Lời giải bài tập 1 trang 89 sgk hình học lớp 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian của chương 3 phương pháp tọa độ trong không gian.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời