Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hai đường thẳng: \(\)\(d: \begin{cases}x = 1 – t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + t’ \\ y = 3 – 2t’ \\ z = 1\end{cases}\). Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 90 SGK Hình Học 12
Đường thẳng d qua điểm M(1; 2; 0) và có vec tơ chỉ phương \(\vec{u}(-1; 2; 3)\).
Đường thẳng d’ qua điểm M'(1; 3;1) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u’}(1; -2; 0)\).
Xét \(\left [\vec{u},\vec{u’} \right ] = \left (\begin{vmatrix} 2 \, \, \, \,3\\ -2\, \,\, \,0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3\, \, \, \,-1 \\ 0\, \, \, \,1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1\, \, \, \,2\\ 1 \, \, \, \,-2 \end{vmatrix} \right )\) \(= (6; 3; 0)\).
\(\vec{MM’} = (0; 1; 1)\).
Ta có : \(\left [\vec{u}, \vec{u’} \right ].\vec{MM’} = 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3 ≠ 0\).
Do đó d và d’ chéo nhau.
Cách giải khác
Ta có vectơ chỉ phương của d là \(\vec{a} = (-1; 2; 3)\) và vectơ chỉ phương của d’ là \(\vec{a’} = (1; -2; 0)\)
Từ hai vectơ chỉ phương ta thấy \(\vec{a}\) và \(\vec{a’}\) không cùng phương
Đồng thời hệ phương trình \(\begin{cases}1 – t = 1 + t\\2 + 2t = 3 – 2t (vô \, \,nghiệm)\\3t = 1\end{cases}\)
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Cách giải khác
Xét đường thảng (d): \(\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct\end{cases}\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \((d’): \begin{cases}x = x_{0′} + a’t’\\ y = y_{0′} + b’t’ \\ z = z_{0′} + c’t’\end{cases}\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u’} = (a’; b’; c’)\)
– Trường hợp 1: \(\vec{u} // \vec{u’} ⇔ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\)
– Trường hợp 2: \(\vec{u}\) không song song với \(\vec{u’}\):
Nếu hệ \(\begin{cases}x_0 +at = x_{0′} + a’t’ \\ y_0 + bt = y_{0′} + b’t’ \\ z_0 + ct = z_{0′} + c’t’\end{cases}\) có nghiệm duy nhất ⇒ (d) và (d’) cắt nhau.
Nếu hệ \(\begin{cases}x_0 + at = x_{0′} + a’t’ \\ y_0 + bt = y_{0′} + b’t’ \\ z_0 + ct = z_{0′} + c’t’\end{cases}\) vô nghiệm ⇒ (d) và (d’) chéo nhau.
Giải:
Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là: \(\vec{u_1}(-1; 2; 3)\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là: \(\vec{u_2}(1; -2; 0)\)
⇒ Hai vectơ \(\vec{u_1}; \vec{u_2}\) không cùng phương. (1)
Xét hệ phương trình: \(\begin{cases}1 – t = 1 + t’ \\ 2 + 2t = 3 – 2t’ \\ 3t = 1\end{cases}\)
Hệ phương trình trên vô nghiệm. (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng đa cho chéo nhau.
Vậy là đã có kết quả bài 9 trang 91 sgk hình học 12, bài trên có 2 cách giải, nhưng hiện tại chúng tôi mới giải cách thứ nhất, ai có cách khác vui lòng cho chúng tôi biết bên dưới nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời