Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và B’D’C).
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 90 SGK Hình Học 12
Từ dữ kiện đề bài, ta chọn một đỉnh bất kì của hình lập phương là gốc tọa độ. Khi đó, 3 cạnh của hình lập phương đi qua đỉnh đó chính là phương của các trục Ox, Oy, Oz.
Sau khi xây dựng xong hệ trục tọa độ, ta xác định tọa độ các đỉnh lúc này và tiến hành giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0 ; 1).
B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C(1; 1; 0). Phương trình mặt phẳng (A’BD) có dạng:
x + y + z – 1 = 0. (1)
\(\)\(\vec{CB’}(0; -1; 1); \vec{CD’}(-1; 0; 1)\).Mặt phẳng (B’D’C) qua điểm C và nhận \(\vec{n} = [\vec{CB’}, \vec{CD’}] = (-1; -1; -1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng:
\(x + y + z – 2 = 0\) (2)
Ta có: \(d_{1}(A,(A’BD)) = \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
\(d_{2}(A,(B’D’C)) = \frac{2}{\sqrt{3}}.\)
Cách giải khác
Đặt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ vào hệ trục Oxyz sao cho O(0; 0; 0) ≡ A
\(\vec{i} = \vec{AB}; \vec{j} = \vec{AD}; \vec{k} = \vec{AA’}\)
Ta có tọa độ của các điểm như sau: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1), B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1)
Phương trình của mp(A’BD) là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1\) hay x + y + z – 1 = 0
Vậy \(d(A, mp(A’BD)) = \frac{|0 + 0 + 0 – 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
mp(B’D’C’) // mp(A’BD) vì (B’C // A’D và D’C // A’B) nên phương trình của mp(B’D’C) có dạng x + y + z + D = 0 (D ≠ -1)
Mp(B’D’C) đi qua điểm C(1; 1; 0) ⇔ D = -2
Suy ra phương trình của mp(B’D’C) là: x + y + z – 2 = 0
Vậy \(d(A, mp(B’D’C)) = \frac{|0 + 0 + 0 – 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
Cách giải khác
– Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương.
– Viết phương trình các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
– Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1)
Khi đó B'(1; 0; 1), D'(0; 1; 1), C(1; 1; 0)
Phương trình mặt phẳng (A’BD) có dạng: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 ⇔ x + y + z – 1 = 0\)
\(\vec{CB’}(0; -1; 1); \vec{CD’}(-1; 0; 1)\)
Mặt phẳng (B’D’C) qua điểm C và nhận \(\vec{n} = [\vec{CB’}, \vec{CD’}] = (-1; -1; -1)\) hay \(\vec{n} = (1; 1; 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng: x – 1 + y – 1 + z = 0 ⇔ x + y + z – 2 =0
Vậy:
\(d(A; (A’BD)) = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(d(A; (B’D’C)) = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\)
Trên là lời giải và phương pháp giải bài tập 10 trang 91 sgk hình học 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời