Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a. \(\)\(d: \begin{cases}x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t\end{cases}\) và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t\end{cases}\) và (α) : x + 3y + z = 0
c. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 – 3t\end{cases}\) và (α) : x + y + z – 4 = 0
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
Câu a: Thay các tọa độ x; y; z trong phương trình tham số của (d) vào phương trình (α) ta có:
3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) = 0
⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3
Tức là d ∩ (α) = M(0; 0; -2).
Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.
Câu b: Thay các tọa độ x; y; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0
⇔ 0.t + 9 = 0, phương trình vô nghiệm.
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau hay d // (α).
Câu c: Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:
(1 + 1) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0
⇔ 0t + 0 = 0
Phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α).
Cách giải khác
Câu a: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (4; 3; 1)\) và mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (3; 5; -1)\)
vậy \(\vec{a}.\vec{n} = 12 + 15 – 1 ≠ 0\), suy ra \(\vec{a}\) và \(\vec{n}\) không vuông góc nhau hay d cắt (α).
Câu b: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; -1; -2)\), mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 3; 1)\)
Ta có: \(\vec{a}.\vec{n} = 1 – 3 + 2 = 0 ⇒ d // (α)\) hoặc d ⊂ (α) (1)
mặt khác: M ∈ d nhưng M ∉ (α) (2)
từ (1) và (2) suy ra d và (α) song song nhau.
Câu c: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; 3)\), mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)
Ta có: \(\vec{a}.\vec{n} = 1 + 2 – 2 = 0 ⇒ d // (α)\) hoặc d ⊂ (α) (3)
mặt khác: M ∈ d nhưng M ∈ (α) (4)
từ (3) và (4) suy ra d ⊂ (α)
Cách giải khác
Câu a: \(d: \begin{cases}x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t\end{cases}\) và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
Phương pháp giải: Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng \(d: \begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt, (t ∈ R) \\ z = z_0 + ct\end{cases}\)
và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi \(M = d ∩ (P) ⇒ M ∈ d ⇒ M(x_0 + at; y_0 + bt; z_0 + ct)\)
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P), tìm ẩn t, sau đó suy ra tọa độ điểm M.
Giải:
Gọi MM ∈ d ⇒ M(12 + 4t; 9 + 3t; 1 + t)
Giả sử M ∈ (α) thì ta có:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3
Vậy d ∩ (α) = M(0; 0; -2)
Câu b: \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t\end{cases}\) và (α) : x + 3y + z = 0
Gọi M ∈ d ⇒ M(1 + t; 2 – t; 1 + 2t)
Giả sử M ∈ (α) thì ta có:
(1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0
⇔ 0.t + 9 = 0, phương trình vô nghiệm
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau hay d // (α)
Câu c: \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 – 3t\end{cases}\) và (α) : x + y + z – 4 = 0
Gọi M ∈ d ⇒ M(1 + t; 1 + 2t; 2 – 3t)
Giả sử M ∈ (α) thì ta có:
(1 + t) + (1 + 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0
⇔ 0t + 0 = 0
Phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α)
Trên là phương pháp cũng như lời giải bài 5 trang 90 sgk hình học 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian. Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời