Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng \(∆: \begin{cases}x = 2 + t\\y = 1 + 2t \\ z = t\end{cases}\).
a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 90 SGK Hình Học 12
Để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng Δ ta thực hiện các bước sau:
– Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với Δ.
– Tìm giao điểm của (α) và Δ chính là tọa độ của điểm H cần tìm.
A’ đối xứng với A qua Δ suy ra H chính là trung điểm của AA’.
Câu a:
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec{a}_∆ = (1; 2; 1)\)
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆
Khi đó (α) có vecto pháp tuyến \(\vec{n}_α = \vec{a}_∆ = (1; 2; 1)\)
Phương trình mặt phẳng (α) là:
1.(x – 1) + 2.y + 1.z = 0 ⇔ x+ 2y + z – 1 = 0 (1)
Hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng ∆ là giao điểm của ∆ và (α).
Thay x = 2 + 1, y = 1 + 2t, z = t vào (1) ta được
\(\)\(2 + t + 2 + 4t + t – 1 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\)Vậy nên: \(H(\frac{3}{2}; 0; -\frac{1}{2})\)
Câu b:
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ và H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ thì H là trung điểm của AA’; vì vậy tọa độ của H là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và A’.
Gọi A'(x; y; z) ta có:
\(\frac{x + 1}{2} = \frac{3}{2} ⇒ x = 2; y = 0; z = -1\).
Vậy \(A'(2; 0; -1)\).
Cách giải khác
Câu a: Cho H(2 + t; 1 + 2t; t) ∈ ∆. Ta có: \(\vec{AH} = (1 + t; 1 + 2t; t)\) đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; 1)\)
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ nên \(AH ⊥ ∆ ⇔ \vec{AH}.\vec{a} = 0\)
\(⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)
\(⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\)
\(⇒ H(\frac{3}{2}; 0; -\frac{1}{2})\)
Câu b: Vì A’ là điểm đối xứng của A qua ∆ nên H là trung điểm cuả AA’
Khi đó \(\begin{cases}X_A’ = 2X_H – x_A = 2\\Y_A’ = 2y – Y_A = 0\\Z_A’ = 2z_H – y_A = -1\end{cases}\)
Vậy A'(2; 0; -1)
Cách giải khác
Câu a: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
Phương pháp giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng Δ thì H ∈ Δ, tham số hóa tọa độ điểm H theo ẩn t.
\(\vec{AH} ⊥ ∆ ⇒ \vec{AH}.\vec{u}_∆ = 0\), giải phương trình tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.
Giải: Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec{u}(1; 2; 1)\). H ∈ Δ nên H(2 + t; 1 + 2t; t)
Điểm H ∈ Δ là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ khi và chỉ khi \(\vec{AH} ⊥ \vec{u}\)
Ta có \(\vec{AH}(1 + t; 1 + 2t; t)\) nên
\(\vec{AH} ⊥ \vec{u} ⇔ \vec{u}.\vec{AH} = 0\)
\(⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)
\(⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\)
\(⇔ H(\frac{3}{2}; 0; -\frac{1}{2})\)
Câu b: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Phương pháp giải: A’ đối xứng với A qua đường thẳng d suy ra H là trung điểm của AA’, với H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ. Từ đó tìm tọa độ điểm A’.
Giải: Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua Δ và H là hình chiếu vuông góc của A lên Δ thì H là trung điểm của AA’.
\(⇒ \begin{cases}x_{A’} = 2x_H – x_A = 2.\frac{3}{2} – 1 = 2\\y_{A’} = 2y_H – y_A = 2.0 – 0 = 0 \\z_{A’} = 2z_H – z_A = 2.(-\frac{1}{2}) – 0 = -1\end{cases}\)
⇒ A'(2; 0; -1)
Lời giải bài 7 trang 91 sgk hình học 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian. Với lời giải và phương pháp giải hy vọng sẽ giúp ích dược cho các bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời