Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau:
a. \(\)\(d: \begin{cases}x = -3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 6 + 4t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 5 + t’ \\ y = -1 – 4t’ \\ z = 20 + t’\end{cases}\)
b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + 2t’ \\ y = -1 + 2t’ \\ z = 2 – 2t’\end{cases}\)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học 12
Câu a:
Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow u = (2; 3; 4)\).
Đường thẳng d’ có VTCP \(\overrightarrow u ‘ = (1; – 4; 1)\).
Ta thấy \(\vec{u} ≠ k \vec{u’}, ∀k ≠ 0.\)
Vậy d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\begin{cases}-3 + 2t = 5 + t’ (1)\\ -2 + 3t = -1 – 4t’ (2) \\ 6 + 4t = 20 + t’ (3)\end{cases}\)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(\begin{cases}2t – t’ = 8\\ 3t + 4t’ = 1\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}t = 3\\ t’ = -2\end{cases}\)
Các giá trị này của t và t’ thoả mãn phương trình (3).
Câu b: Ta có : \(\vec{u_{1}}( ; 1; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\vec{u_{2}}(2; 2; -2)\) là vectơ chỉ phương của d’ .
Ta thấy \(\vec{u_{1}}\) và \(\vec{u_{2}}\) cùng phương nên d và d’ chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1; 2; 3) ∈ d ta thấy M ∉ d’ nên d và d’ song song.
Cách giải khác
Câu a: Ta có hệ: \(\begin{cases}-3 + 2t = 5 + t'(1)\\-2 + 3t = -1 – 4t'(2)\\ 6 + 4t = 20 + t'(3)\end{cases}\)
Giải hệ phương trình với hai phương trình (1) và (2), ta được t = 3, t’ = 2. Thay vào (3) ta thấy (3) đúng.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x; y; z) = (3; 7; 8)
Vậy d và d’ cắt nhau tại A(3; 7; 8)
Câu b: Ta có: d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 1; -1)\) (4)
d’ có vectơ chỉ phương \(\vec{a’} = (2; 2; -1)\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\vec{a}\) và \(\vec{a’}\) cùng phương (6)
Ta lại có A(1; 2; 3) ∈ d nhưng A ∉ d’ (7)
Từ (6) và (7) suy ra d // d’
Cách giải khác
Câu a: \(d: \begin{cases}x = -3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 6 + 4t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 5 + t’ \\ y = -1 – 4t’ \\ z = 20 + t’\end{cases}\)
Phương pháp giải
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’. Gọi \(\vec{a}; \vec{a’}\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d’, \(M_1 ∈ d, M_2 ∈ d’\).
Điều kiện để hai đường thẳng d và d’ song song: \(\begin{cases}\vec{a} = \vec{ka’}\\M ∈ d, M ∉ d’\end{cases}\)
Điều kiện để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau là \([\vec{a}; \vec{a’}] ≠ \vec{0}\) và \([\vec{a}; \vec{a’}].\vec{M_1M_2} = 0\)
Điều kiện để hai đường thẳng d và d’ chéo nhau: \([\vec{a}; \vec{a’}]. \vec{M_1M_2} ≠ 0\)
Giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \(M_1(-3; -2; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u_1}(2; 3; 4)\)
Đường thẳng d’ đi qua \(M_2(5; -1; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u_2}(1; -4; 1)\)
Ta nhận thấy \(\vec{u_1}, \vec{u_2}\) không cùng phương nên d và d’ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có: \([\vec{u_1}, \vec{u_2}] = ({| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ – 4\end{array}\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} |;| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} |;| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}\begin{array}{l}3\\ – 4\end{array}\end{array}} |} ) = ( {19;2; – 11})\)
\(\vec{M_1M_2} = (8; 1; 14)\)
Mà \([\vec{u_1}, \vec{u_2}].\vec{M_1M_2} = (19.8 + 2 – 11.14) = 0\) nên d và d’ cắt nhau.
Câu b: \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + 2t’ \\ y = -1 + 2t’ \\ z = 2 – 2t’\end{cases}\)
Ta có: \(\vec{u_1}(1; 1; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\vec{u_2}(2; 2; -2)\) là vectơ chỉ phương của d’.
Ta thấy \(\vec{u_1}\) và \(\vec{u_2}\) cùng phương nên d và d’ chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1; 2; 3) ∈ d, thay tọa độ diểm M vào phương trình d’ ta được:
\(\begin{cases}1 = 1 + 2t’\\2 = -1 + 2t’\\ 3 = 2 – 2t’\end{cases} ⇔ \begin{cases}t’ = 0\\t’ = \frac{3}{2}\\t’ = -\frac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy M ∉ d’ nên d và d’ song song.
Hướng dẫn làm bài tập 3 trang 90 sgk hình học lớp 12 bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian chương 3. Bài yêu cầu xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời