Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \begin{cases}x = 2 + t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 + 3t\end{cases}\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a. (Oxy).
b. (Oyz).
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học 12
Phương pháp:
Bài toán viết phương trình tham số của đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đi trên mặt phẳng (P) cho trước:
Cách 1: Áp dụng cho trường hợp tổng quát:
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
+ d’ chính là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và (P).
Cách 2: (P) là các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz).
+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) thì z=0.
+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) thì y=0.
+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) thì x=0.
Từ đó ta suy ra ngay phương trình các đường thẳng cần tìm.
Câu a: Xét mặt phẳng \(\)\((P)\) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0; vectơ \(\vec{k}(0 ; 0 ;1)\) là vectơ pháp tuyến của (Oxy), khi đó \(\vec{k}\) và \(\vec{u}(1; 2; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
\(\vec{n} = \left [\vec{u}, \vec{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
\(2(x – 2) – (y + 3) +0.(z – 1) = 0\)
hay \(2x – y – 7 = 0\).
Đường thẳng hình chiếu \(∆\) thỏa mãn hệ:
\(\left\{\begin{matrix} z=0 \\ 2x-y-7=0. \end{matrix}\right.\)
Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\vec{v}\) của ∆ vuông góc với \(\vec{k}\) và vuông góc với \(\vec{n}\), vậy có thể lấy \(\vec{v} = \left [\vec{k}, \vec{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\).
Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:
\(\begin{cases}x = 4 + t \\ y = 1 + 2t ,t ∈ R \\ z = 0\end{cases}\).
Câu b: Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.
lấy \(M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d\) và \(M_2( 0; -7; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của
\(M_1\) trên (Oxy) là \(M_1(0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên (Oyz) là chính nó.
Đườn thẳng ∆ qua \(M’_1, MM_2\) chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).
Ta có: \(\vec{M’_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6) // \vec{v} (0 ; 2 ; 3)\).
Phương trình \(M’_1M_2\) có dạng:
\(\begin{cases}x = 0 \\ y = -3 + 2t, t ∈ R \\ z = 1 + 3t\end{cases}\).
Cách giải khác
Câu a: Từ phương trình đường thẳng d ta suy ra M(2; -3; 1) và N(3; -1; 4) thuộc d.
Gọi M’ và N’ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M và N trên mp(Oxy)
Ta có: M'(2; -3; 0) và N'(3; -1; 0), \(\vec{M’N’} = (1; 2; 0)\)
Suy ra đường thẳng M’N’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxy).
Vậy đường thẳng M’N’ có phương trình tham số là:
\(\begin{cases}x = 2 + t\\y = -3 + 2t\\z = 0\end{cases}\)
Câu b: Tượng tự như trên, phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d lên mp(Oyz) là: \(\begin{cases}x = 0\\y = -3 + 2t\\z = 1 + 3t\end{cases}\)
Cách giải khác
Câu a: (Oxy)
Phương pháp giải
Cách 1: Phương pháp viết phương trình hình chiếu (d′) của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P):
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P).
\(\vec{n}_{(Q)} = [\vec{u}_{(d)}; \vec{n}_{(P)}]\)
M ∈ d ⇒ M ∈ (Q) (Với M là một điểm bất kì)
Bước 2: d’ = (P) ∩ (Q). Viết phương trình đường thẳng (d’)
Cách 2: Lấy 2 điểm A, B bất kì thuộc d, gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó (d’) chính là đường thẳng A’B’.
Giải chi tiết
Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc (Oxy) và chứa d.
Khi đó Δ = (P) ∩ (Oxy) là hình chiếu của d lên (Oxy)
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0; vectơ \(\vec{k}(0; 0; 1)\) là vectơ pháp tuyến của (Oxy).
Ta có: \(\begin{cases}\vec{n_{(P)}} ⊥ K\\\vec{n_{(P)}} ⊥ \vec{u_{d}}\end{cases}\)
\(⇒ \vec{n_{(P)}} = [\vec{u}, \vec{k}] = (2; -1; 0)\) là vectơ pháp tuyến của (P).
\(Δ = (P) ∩ (Oxy) ⇒ Δ: \begin{cases}z = 0\\2x – y – 7 = 0\end{cases}\)
Đường thẳng Δ đi qua \(M_0(4; 1; 0)\) và nhận \(\vec{u_Δ} = (1; 2; 0)\) làm vectơ chỉ phương nên \(Δ: \begin{cases}x = 4 + t\\y = 1 + 2t, t ∈ R\\z = 0\end{cases}\)
Cách 2:
t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d
t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.
Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).
Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).
⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.
⇒ Đường thẳng d’ đi qua M'(2; -3; 0) và nhận \(\vec{M’N’} = (1; 2; 0)\) là một vectơ chỉ phương.
\(⇒ d’: \begin{cases}x = 2 + t\\y = -3 + 2t\\z = 0\end{cases}\)
Câu b: (Oyz)
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0.
Lấy \(M_1(2; -3; 1) ∈ d\) và \(M_2(0; -7; -5) ∈ d\)
Hình chiếu vuông góc của \(M_1\) trên (Oyz) là \(M’_1(0; -3; 1)\)
Hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên (Oyz) là chính nó.
Đường thẳng Δ qua \(M’_1, M’_2\) chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).
Ta có: \(\vec{M’_1M_2}(0; -4; -6) // \vec{v}(0; 2; 3)\)
Phương trình \(M’_1M_2\) có dạng: \(\begin{cases}x = 0\\y = -3 + 2t, t ∈ R\\z = 1 + 3t\end{cases}\)
Trên là lời giải của bài tập 2 trang 89 sgk hình học 12 trong bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian. Với phương pháp giải và các cách hy vọng các bạn tìm được lời giải tốt nhất.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời