Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0
a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).
b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
Lời Giải Bài Tập 8 Trang 90 SGK Hình Học 12
+ Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H và vuông góc với (α).
+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và (α) chính là tọa độ điểm H cần tìm.
Điểm M’ đối xứng với M qua (α), suy ra H chính là trung điểm của MM’.
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đến tính khoảng cách từ M đến (α) hoặc tính độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ M đến (α).
Giải:
Câu a: Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).
Khi đó H chính là giao điểm của d và (α).
Vectơ \(\)\(\vec{n}(1; 1; 1)\) là vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\vec{n}\) là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\begin{cases}x = 1 + t \\ y = 4 + t \\ z = 2 + t\end{cases}\).
Thay tọa độ x; y; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có: 3t + 6 = 0 => t = -2 ⇒ H(-1; 2; 0).
Câu b: Gọi M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM’.
Ta có:
\(\frac{x+1}{2} = -1 ⇒ x = -3\) ;
\(\frac{y+4}{2} = 2 ⇒ y = 0\) ;
\(\frac{z+2}{2} = 0 ⇒ z = -2\).
Vậy M'(-3; 0; 2).
Câu c: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Cách 1: \(d(M, (α)) = \frac{|1 + 4 + 2 – 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\).
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:
\(d(M, (α))= MH\) = \(\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{3}\).
Cách giải khác
Câu a: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp(α).
Phương trình tham số của đường thẳng MH là:
\(\begin{cases}x = 1 + t\\y = 4 + t\\z = 2 + t\end{cases}\)
Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng MH vào phương trình của mp(α), ta có:
(1 + t) + (4 + t) + (2 + t) – 1 = 0
⇔ 3t + 6 = 0 ⇔ t = -2
Vậy H(-1; 2; 0)
Câu b: Vì M’ là điểm đối xứng của M qua mp(α) nên \(\vec{MM’} = 2.\vec{MH}\)
ta có H là trung điểm của MM’. Khi đó M’ \(\begin{cases}x = 2x_H – x_M = -3\\y = 2y_H – y_M = 0\\z = 2z_H – z_M = -2\end{cases}\)
Vậy M'(-3; 0; -2)
Câu c: Ta có: \(d = d(M, mp(α)) = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}\)
Cách giải khác
Câu a: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).
Phương pháp giải:
Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
Bước 2: Gọi H = d ∩ (P), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Giải: Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α)
Vectơ \(\vec{n}(1; 1; 1)\) là vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\vec{n}\) là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: \(\begin{cases}x = 1 + t \\ y = 4 + t \\ z = 2 + t\end{cases}\).
Gọi H = d ∩ (P), H ∈ d ⇒ H(1 + t; 4 + t; 2 + t), vì H ∈ α nên ta có: 1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 ⇔ 3t + 6 = 0 ⇔ t = -2 ⇒ H(-1; 2; 0)
Câu b: Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
Phương pháp giải: Điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P) nhận H làm trung điểm, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M’.
Giải: Gọi M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM’.
Ta có: \(\begin{cases}x_{M’} = 2x_H – x_M = 2.(-1) – 1 = -3\\y_{M’} = 2y_H – y_M = 2.2 – 4 = 0 \\z_{M’} = 2z_H – z_M = 2.0 – 2 = -2\end{cases}\)
⇒ M'(-3; 0; -2)
Câu c: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
\(d(M;(P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + B^2 + C^2}}\)
Giải: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
Cách 1: \(d(M, (α)) = \frac{|1 + 4 + 2 – 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách \(MH: d(M, (α)) = MH = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3}\)
Trên là lời giải và phương pháp làm bài tập 8 trang 91 shk hình học 12, hy vọng qua bài viết sẽ giúp mọi người bám xát hơn vào chuyên đề.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời