Chương III: Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Đại Số Lớp 9 – Tập 2
Giải Bài Tập SGK: Bài 3 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
Bài Tập 17 Trang 16 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a. \(\)\(\begin{cases}x\sqrt{2} – y\sqrt{3}\\x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}\end{cases}\)
b. \(\begin{cases}x – 2\sqrt{2}y = \sqrt{5}\\x\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}\end{cases}\)
c. \(\begin{cases}(\sqrt{2} – 1)x – y = \sqrt{2}\\x + (\sqrt{2} + 1)y = 1\end{cases}\)
Lời Giải Bài Tập 17 Trang 16 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
– Từ phương trình (1), rút x theo y (nếu a ≠ 0), ta được: \(x = \frac{c – by}{a}\) (Hoặc có thể rút y theo x nếu b ≠ 0).
– Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn y. Giải phương trình này tìm y.
– Thế y vào phương trình (1) tìm được x.
Giải:
Câu a: \(\begin{cases}x\sqrt{2} – y\sqrt{3}(1)\\x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}(2)\end{cases}\)
Từ (2) suy ra \(x = -y\sqrt{3} + \sqrt{2}\) (3)
Thế (3) vào (1), ta được:
\((-y\sqrt{3} + \sqrt{2}).\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔ -y\sqrt{3}.\sqrt{2} + 2 – y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔ -\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)y = -1\)
\(⇔ y = \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{3}}\)
Thế \(y = \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{3}}\) vào (3) ta được: \9x = -(\frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{3}}).\sqrt{3} + \sqrt{2}\)
\(x = -\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 1\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((1; \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{3}})\)
Câu b: \(\begin{cases}x – 2\sqrt{2}y = \sqrt{5}(1)\\x\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}(2)\end{cases}\)
Từ (1) suy ra \(x = 2\sqrt{2}y + \sqrt{5}\) (3)
Thế (3) vào (2), ta được:
\((2\sqrt{2}y + \sqrt{5}).\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}\)
\(⇔ 4y + \sqrt{10} + y = 1 – \sqrt{10}\)
\(⇔ 5y = 1 – \sqrt{10} – \sqrt{10}\)
\(⇔ 5y = 1 – 2\sqrt{10}\)
\(⇔ y = \frac{1 – 2\sqrt{10}}{5}\)
Thế y vừa tìm được vào (3) ta có: \(x = 2\sqrt{2}.(\frac{1 – 2\sqrt{10}}{5}) + \sqrt{5}\)
\(x = \frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5}}{5}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \((\frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5}}{5}; \frac{1 – 2\sqrt{10}}{5})\)
Câu c: \(\begin{cases}(\sqrt{2} – 1)x – y = \sqrt{2}(1)\\x + (\sqrt{2} + 1)y = 1(2)\end{cases}\)
Từ (1) suy ra \(y = (\sqrt{2} – 1)x – \sqrt{2}\) (3)
Thế (3) vào (2), ta được:
\(x + (\sqrt{2} + 1)((\sqrt{2} – 1)x – \sqrt{2}) = 1\)
\(⇔ x + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)x – \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) = 1\)
\(⇔ x + x – 2 – \sqrt{2} = 1\)
\(⇔ 2x = 3 + \sqrt{2}\)
\(⇔ x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\)
Thay \(x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\) vào (3), ta được: \(y = (\sqrt{2} – 1).(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}) – \sqrt{2} = -\frac{1}{2}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((\frac{3 + \sqrt{2}}{2}; -\frac{1}{2})\)
Cách giải khác:
Câu a: Ta có:
\(\begin{cases}x\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\\x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\\x = \sqrt{2} – y\sqrt{3}\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}(y\sqrt{3} – \sqrt{2})\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1(1)\\x = \sqrt{2} – y\sqrt{3} (2)\end{cases}\)
Giải phương trình (1) ta được:
\((\sqrt{2} – y\sqrt{3})\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔ (\sqrt{2})^2 – y\sqrt{3}.\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔ 2 – y\sqrt{3}.\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔ -y\sqrt{3}.\sqrt{2} – y\sqrt{3} = 1 – 2\)
\(⇔ -y\sqrt{3}.(\sqrt{2} + 1) = -1\)
\(⇔ y = \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} – 1)}{(\sqrt{3})^2(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)}\)
\(⇔ y = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} – 1}{3}\)
Thay y tìm được vào phương trình (2), ta được:
\(x = \sqrt{2} – \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} – 1)}{3}.\sqrt{3}\)
\(⇔ x = \sqrt{2} – \frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}(\sqrt{2} – 1)}{3}\)
\(⇔ x = \sqrt{2} – \frac{3(\sqrt{2} – 1}{3} = \sqrt{2} – (\sqrt{2} – 1)\)
\(⇔ x = \sqrt{2} – \sqrt{2} + 1 = 1\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \((1; \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} – 1)}{3})\)
Câu b: \(\begin{cases}x – 2\sqrt{2}y = \sqrt{5}(1)\\x\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}(2)\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = 2\sqrt{2}y + \sqrt{5}(1)\\(2\sqrt{2}y + \sqrt{5}).\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}(2)\end{cases}\)
Giải phương trình (2), ta được:
\((2\sqrt{2}y + \sqrt{5}).\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}\)
\(⇔ 2(\sqrt{2}.\sqrt{2}).y + \sqrt{5}.\sqrt{2} + y = 1 – \sqrt{10}\)
\(⇔ 4y + \sqrt{10} + y = 1 -\sqrt{10}\)
\(⇔ 4y + y = 1 – \sqrt{10} – \sqrt{10}\)
\(⇔ 5y = 1 – 2\sqrt{10}\)
\(⇔ y = \frac{1 – 2\sqrt{10}}{5}\)
Thay \(y = \frac{1 – 2\sqrt{10}}{5}\) vào (1), ta được:
\(x = 2\sqrt{2}.\frac{1 – 2\sqrt{10}}{5} + \sqrt{5} = \frac{2\sqrt{2} – 4\sqrt{20}}{5} + \sqrt{5}\)
\(⇔ x = \frac{2\sqrt{2} – 4.2\sqrt{5}}{5} + \sqrt{5} = \frac{2\sqrt{2} – 8\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{5}\)
\(⇔ x = \frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5}}{5}\)
Vậy hệ có nghiệp duy nhất là: \((x; y) = (\frac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5}}{5}; \frac{1 – 2\sqrt{10}}{5})\)
Câu c: \(\begin{cases}(\sqrt{2} – 1)x – y = \sqrt{2}(1)\\x + (\sqrt{2} + 1)y = 1(2)\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}y = (\sqrt{2} – 1)x – \sqrt{2}(1)\\x + (\sqrt{2} + 1)\left[\sqrt{2}-(\sqrt{2} – 1)x\right] = 1(2)\end{cases}\)
Giải phương trình (2), ta được:
\(x + (\sqrt{2} + 1)[(\sqrt{2} – 1)x – \sqrt{2}] = 1\)
\(⇔ x + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)x – (\sqrt{2} + 1).\sqrt{2} = 1\)
\(⇔ x + ((\sqrt{2})^2 – 1^2)x – (2 + \sqrt{2}) = 1\)
\(⇔ x + x = 1 + (2 + \sqrt{2})\)
\(⇔ 2x = 3 + \sqrt{2}\)
\(⇔ x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\)
Thay \(x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}\) vào (1), ta được:
\(y = (\sqrt{2} 0 1).\frac{3 + \sqrt{2}}{2} – \sqrt{2}\)
\(⇔ y = \frac{(\sqrt{2} – 1)(3 + \sqrt{2})}{2} – \sqrt{2}\)
\(⇔ y = \frac{3\sqrt{2} – 3 + 2 – \sqrt{2}}{2} – \sqrt{2}\)
\(⇔ y = \frac{2\sqrt{2} – 1}{2} – \sqrt{2}\)
\(⇔ y = \frac{2\sqrt{2} – 1 – \sqrt{2}}{2}\)
\(⇔ y = \frac{-1}{2}\)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (\frac{3 + \sqrt{2}}{2}; \frac{-1}{2})\)
Hướng dẫn làm bài tập 17 trang 16 sgk đại số lớp 9 tập 2 bài 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế chương III. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 12 Trang 15 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 13 Trang 15 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 14 Trang 15 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 15 Trang 15 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 16 Trang 16 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 18 Trang 16 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
- Bài Tập 19 Trang 16 SGK Đại Số Lớp 9 – Tập 2
Trả lời