Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các bất phương trình sau:
a. \(\)\(y’ < 0\) với \(y = \frac{x^2 + x + 2}{x – 1}\)
b. \(y’ ≥ 0\) với \(y = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\)
c. \(y’ > 0\) với \(y = \frac{2x – 1}{x^2 + x + 4}\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(y’ < 0\) với \(y = \frac{x^2 + x + 2}{x – 1}\)
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.
Giải:
Ta có: \(y’ = \frac{(x^2 + x + 2)’.(x – 1) – (x^2 + x + 2).(x – 1)’}{(x – 1)^2}\)
\(= \frac{(2x + 1)(x – 1) – (x^2 + x + 2).1}{(x – 1)^2}\)
\(= \frac{2x^2 + x – 2x – 1 – x^2 – x – 2}{(x – 1)^2}\)
\(= \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}\)
Do đó, \(y’ < 0 ⇔ \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2} < 0\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ 1\\x^2 – 2x – 3 < 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ 1\\-1 < x < 3\end{cases}\)
\(⇔ x ∈ (-1; 1) ∪ (1; 3)\)
Câu b: \(y’ ≥ 0\) với \(y = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\)
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.
Giải:
Ta có: \(y’ = \frac{(x^2 + 3)’.(x + 1) – (x^2 + 3).(x + 1)’}{(x + 1)^2}\)
\(= \frac{2x(x + 1) – (x^2 + 3).1}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2x – x^2 – 3}{(x + 1)^2}\)
\(= \frac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2}\)
Do đó, \(y’ ≥ 0 ⇔ \frac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2} ≥ 0\)
\(⇔ \begin{cases}x + 1 ≠ 0\\x^2 + 2x – 3 ≥ 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ -1\\\left[ \begin{gathered} x ≥ 1 \\ x ≤ -3\\ \end{gathered} \right.\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≥ 1\\x ≤ -3\end{cases}\)
\(⇔ x ∈ (-∞; -3] ∪ [1; +∞)\)
Câu c: \(y’ > 0\) với \(y = \frac{2x – 1}{x^2 + x + 4}\)
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.
Giải:
Ta có \(y’ = \frac{(2x – 1)’.(x^2 + x + 4) – (2x – 1).(x^2 + x + 4)’}{(x^2 + x + 4)^2}\)
\(= \frac{2(x^2 + x + 4) – (2x – 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 8 – 4x^2 + 2x – 2x + 1}{(x^2 + x + 4)^2}\)
\(= \frac{-2x^2 + 2x + 9}{(x^2 + x + 4)^2}\)
Do đó, \(y’ > 0 ⇔ \frac{-2x^2 + 2x + 9}{(x^2 + x + 4)^2} > 0 ⇔ -2x^2 + 2x + 9 > 0\)
\(⇔ \frac{1 – \sqrt{19}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{19}}{2} ⇔ x ∈ (\frac{1 – \sqrt{19}}{2}; \frac{1 + \sqrt{19}}{2})\)
Vì \(x^2 + x + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} > 0\), với ∀x ∈ R.
Câu a: \(y’ < 0\) với \(y = \frac{x^2 + x + 2}{x – 1}\)
Ta có đạo hàm \(y’ = \frac{(x^2 + x + 2)’.(x – 1) – (x^2 + x + 2).(x – 1)’}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}\)
Do đó, \(y’ < 0 ⇔ \frac{x^2 – 2x – 3}{(x – 1)^2}\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ 1\\-1 < x < 3\end{cases} ⇔ x ∈ (-1; 1) ∪ (1; 3)\).
Câu b: \(y’ ≥ 0\) với \(y = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\)
Ta có đạo hàm \(y’ = \frac{(x^2 + 3)’.(x + 1) – (x^2 + 3).(x + 1)’}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2}\).
Do đó, \(y’ ≥ 0 ⇔ \frac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2} ≥ 0 \)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ -1\\\left[ \begin{gathered} x ≥ 1 \\ x ≤ -3\\ \end{gathered} \right.\end{cases} ⇔ \left[ \begin{gathered} x ≥ 1 \\ x ≤ -3\\ \end{gathered} \right. ⇔ x ∈ (-∞; -3] ∪ [1; +∞) .\).
Câu c: \(y’ > 0\) với \(y = \frac{2x – 1}{x^2 + x + 4}\)
Ta có đạo hàm \(y’ = \frac{(2x – 1)’.(x^2 + x + 4) – (2x – 1).(x^2 + x + 4)’}{(x^2 + x + 4)} = \frac{-2x^2 + 2x + 9}{(x^2 + x + 4)}\).
Do đó, \(y’ > 0 ⇔ \frac{-2x^2 + 2x + 9}{(x^2 + x + 4)} > 0 ⇔ -2x^2 + 2x +9 > 0\)
\(⇔ \frac{1 – \sqrt{19}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{19}}{2}\)
\(⇔ x ∈ (\frac{1 – \sqrt{19}}{2}; \frac{1 + \sqrt{19}}{2})\)
Vì \(x^2 + x + 4 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} > 0\), với (∀x ∈ ℝ).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời