Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a. \(\)\(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\)
b. \(f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos(\frac{2π + x}{2})\)
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.
Phương pháp giải phương trình dạng \(asinx + bcosx = c\). Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
Giải:
\(f'(x) = -3sinx + 4cosx + 5\). Do đó
\(f'(x) = 0 ⇔ -3sinx + 4cosx + 5 = 0\)
\(⇔ 3sinx – 4cosx = 5\)
\(⇔ \frac{3}{5}sinx – \frac{4}{5}cosx = 1\) (1)
Đặt \(cosφ = \frac{3}{5}, (φ ∈ (0; \frac{π}{2})) ⇒ sinφ = \frac{4}{5}\), ta có:
(1) \(⇔ sinx.cosφ – cosx.sinφ = 1 ⇔ sin(x – φ) = 1\)
\(⇔ x – φ = \frac{π}{2} + k2π ⇔ x = φ + \frac{π}{2} + k2π, k ∈ Z\)
Câu b: \(f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos(\frac{2π + x}{2})\)
Phương pháp giải: Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau π, hơn kém nhau \(\frac{π}{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.
Giải:
\(f'(x) = (1)’ – [sin(π + x)]’ + 2[cos(π + \frac{x}{2})]’\)
\(= -(π + x)’cos(π + x) + 2(π + \frac{x}{2})’.[-sin(π + \frac{x}{2})]\)
\(= -cos(π + x) + 2.\frac{1}{2}.[-sin(π + \frac{x}{2})]\)
\(f'(x) = -cos(π + x) – sin(π + \frac{x}{2}) = cosx + sin\frac{x}{2}\)
\(f'(x) = 0 ⇔ cos + sin\frac{x}{2} = 0 ⇔ sin\frac{x}{2} = -cosx\)
\(⇔ sin\frac{x}{2} = sin(x – \frac{π}{2})\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} = x – \frac{π}{2} + k2π \\ \frac{x}{2} = π – x + \frac{π}{2} + k2π\end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} -\frac{x}{2} = -\frac{π}{2} + k2π\\ \frac{3x}{2} = \frac{3π}{2} + k2π \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = π – k4π \\ x = π + \frac{k4π}{3} \end{gathered} \right.\)
\(⇔ x = π + \frac{k4π}{3}\)
Cách khác:
\(f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos(\frac{2π + x}{2})\)
\(= 1 + sinx + 2cos(π + \frac{x}{2})\)
\(= 1 + sinx – 2cos\frac{x}{2}\)
\(f'(x) = (1 + sinx – 2cos\frac{x}{2})’\)
\(= (1)’ + (sinx)’ – 2(cos\frac{x}{2})’\)
\(= 0 + cosx – 2.\frac{1}{2}(-sin\frac{x}{2})\)
\(= cosx + sin\frac{x}{2}\)
\(f'(x) = 0 ⇔ cosx + sin\frac{x}{2} = 0\)
\(⇔ cosx = -sin\frac{x}{2} = -cos(\frac{x}{2} – \frac{x}{2})\)
\(⇔ cosx = cos(π – (\frac{π}{2} – \frac{x}{2}))\)
\(⇔ cosx = cos(\frac{π}{2} + \frac{x}{2})\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = \frac{π}{2} + \frac{x}{2} + k2π\\ x = -\frac{π}{2} – \frac{x}{2} + k2π \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{π}{2} + k2π \\\frac{3x}{2} = -\frac{π}{2} + k2π \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = π + k4π \\x = -\frac{π}{3} + \frac{k4π}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Chú ý:
Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho \(k = 1 + l, l ∈ Z\) thì:
\(x = -\frac{π}{3} + \frac{k4π}{3} = -\frac{π}{3} + \frac{(1 + l)4π}{3}\)
\(= -\frac{π}{3} + \frac{4π + l4π}{3} = -\frac{π}{3} + \frac{4π}{3} + \frac{l4π}{3}\)
\(= π + \frac{l4π}{3}\)
Do đó hai họ nghiệm \(x = π + k4π\) và \(x = π + \frac{l4π}{3}\) hợp lại vẫn được họ nghiệm \(x = π + \frac{l4π}{3}\) trùng với kết quả cách 1.
– Sau đó giải phương trình f'(x)=0.
– Để giải bài tập này các em cần ôn lại các phương pháp giải phương trình lượng giác đã học ở chương 1 Đại số và Giải tích 11.
Câu a: \(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\)
Ta có đạo hàm như sau: \(f'(x) = -3sinx + 4cosx + 5\)
\(⇒ f'(x) = 0 ⇔ -3sinx + 4cosx + 5 = 0\)
\( ⇔ \frac{3}{5}sinx – \frac{4}{5}cosx = 1(*)\)
Đặt \(cosα = \frac{3}{5}; sinα = \frac{4}{5}\)
⇒ (*) trở thành \(sin(x – α) = 1\)
\(⇔ x – α = \frac{π }{2} + k2π ⇔ x = \frac{π }{2} + α + k2π, k ∈ ℤ\).
Câu b: \(f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos(\frac{2π + x}{2})\)
Ta có đạo hàm của hàm số: \(f'(x) = -cos(π – x)-2({2π + x}{2}).sin(\frac{2π + x}{2})\)
\(= cosx – sin (π + \frac{x}{2}) = cosx + sin\frac{x}{2}\)
Suy ra \(f'(x) = 0\)
\(⇔ cosx + sin\frac{x}{2} = 0 ⇔ 1 – 2sin^2\frac{x}{2} + sin\frac{x}{2} = 0\)
\(⇔ 2sin^2\frac{x}{2} – sin\frac{x}{2} – 1 = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} sin\frac{x}{2} =1 \\sin\frac{x}{2} \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} = \frac{π}{2} + k2π \\ \frac{x}{2} = -\frac{π}{2} + k2π\\ \frac{x}{2} = \frac{7π}{6} +k2π \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered}x = π + k4π \\ x = -\frac{π}{3} + k4π\\x = \frac{7π}{3} + k4π \end{gathered} \right. , k ∈ Z\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời