Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a. \(\)\(y = sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\)
b. \(y = cos^2(\frac{π}{3} – x) + cos^2(\frac{π}{3} + x) + cos^2(\frac{2π}{3} – x) + cos^2(\frac{2π}{3} + x) – 2sin^2x\)
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(y = sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\)
Phương pháp giải: Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.
Giải:
Ta có: \(y’ = (sin^6x)’ + (cos^6x)’ + (3sin^2xcos^2x)’\)
\(= 6sin^5x(sinx)’ + 6cos^5x(cosx)’ + 3.[(sin^2x)’cos^2x + sin^2x(cos^2x)’]\)
\(= 6sin^5xcosx + 6cos^5x(-sinx) + 3[2sinxcosxcos^2x + sin^2x.2cosx(-sinx)]\)
\(= 6sin^5xcosx – 6cos^5xsinx + 6sinxcos^3x – 6cosxsin^3x\)
\(= (6sin^5xcosx – 6cosxsin^3x) + 6sinxcos^3x – 6cos^5xsinx\)
\(= 6sin^3xcosx(sin^2x – 1) + 6sinxcos^3x(1 – cos^2x)\)
\(= 6sin^3xcosx.(-cos^2x) + 6sinxcos^3xsin^2x\)
\(= -6sin^3xcos^3x + 6sin^3xcos^3x\)
\(= 0\)
\(⇒ y’ = 0, ∀x\)
Vậy y’ = 0 với mọi x, tức là y’ không phụ thuộc vào x.
Cách khác:
\(sin^6x + cos^6x\)
\(= (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3\)
\(= (sin^2x + cos^2x)^3 – 3sin^2xcos^2x(sin^2x + cos^2x)\)
\(= 1^3 – 3sin^2xcos^2x.1\)
\(⇒ y = sin^6x + cos^6x + 3sin^2xcos^2x = 1\)
\(⇒ y’ = (1)’ = 0\)
Câu b: \(y = cos^2(\frac{π}{3} – x) + cos^2(\frac{π}{3} + x) + cos^2(\frac{2π}{3} – x) + cos^2(\frac{2π}{3} + x) – 2sin^2x\)
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(sinx – siny = 2cos\frac{x + y}{2}sin\frac{x – y}{2}\)
Giải:
\(y = \frac{1 + cos(\frac{2π}{3} – 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{2π}{3} + 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{4π}{3} – 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{4π}{3} + 2x)}{2} – 2sin^2x\)
\(= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(\frac{2π}{3} – 2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(\frac{2π}{3} + 2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(\frac{4π}{3} – 2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(\frac{4π}{3} + 2x) – 2.\frac{1 – cos2x}{2}\)
\(= 1 + \frac{1}{2}cos(\frac{2π}{3} – 2x) + \frac{1}{2}cos(\frac{2π}{3} + 2x) + \frac{1}{2}cos(\frac{4π}{3} – 2x) + \frac{1}{2}cos(\frac{4π}{3} + 2x) + cos2x\)
Do đó \(y’ = \frac{1}{2}.(-2).[-sin(\frac{2π}{3} – 2x)] + \frac{1}{2}.2.[-sin(\frac{4π}{3} + 2x)] – 2sin2x\)
\(= sin(\frac{2π}{3} – 2x) – sin(\frac{2π}{3} + 2x) + sin(\frac{4π}{3} – 2x) – sin(\frac{4π}{3} + 2x) – 2sin2x\)
\(= 2cos\frac{2π}{3}.sin(-2x) + 2cos\frac{4π}{3}.sin(-2x) – 2sin2x\)
\(= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0\)
(Vì \(cos\frac{2π}{3} = cos\frac{4π}{3} = -\frac{1}{2}\))
Vậy y’ = 0 với mọi x, do đó y’ không phụ thuộc vào x
Cách khác:
\(y = 1 + \frac{1}{2}[cos(\frac{2π}{3} – 2x) + cos(\frac{4π}{3} – 2x)] + \frac{1}{2}[cos(\frac{2π}{3} + 2x) + cos(\frac{4π}{3} + 2x)] + cos2x\)
\(= 1 + \frac{1}{2}.2cos(π – 2x)cos\frac{π}{3} + \frac{1}{2}.2cos(π + 2x)cos\frac{π}{3} + cos2x\)
\(= 1 – cos2x.\frac{1}{2} – cos2x.\frac{1}{2} + cos2x\)
\(= 1 – cos2x + cos2x = 1\)
\(⇒ y = 1, ∀x\)
\(⇒ y’ = 0, ∀x\)
Câu a: \(y = sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\)
Ta có: \(y’ = 6sin^5x.cos x – 6cos^5x.sinx + 6sinx.cos^3x – 6sin^3x.cosx\)
\(= 6sin^3x.cosx(sin^2 x – 1) + 6sinx.cos^3x(1 – cos^2x)\)
\(= – 6sin^3x.cos^3x + 6sin^3x.cos^3x = 0\).
Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).
Câu b: \(y = cos^2(\frac{π}{3} – x) + cos^2(\frac{π}{3} + x) + cos^2(\frac{2π}{3} – x) + cos^2(\frac{2π}{3} + x) – 2sin^2x\)
\(y = \frac{1 + cos(\frac{2π}{3} – 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{2π}{3} + 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{4π}{3} – 2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{4π}{3} + 2x)}{2} – 2sin^2x\)
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được
\(y’ = sin(\frac{2π}{3} – 2x) – sin(\frac{2π}{3} + 2x) + sin(\frac{4π}{3} – 2x) – sin(\frac{4π}{3} + 2x) – 2sin2x\)
\(= 2cos\frac{2π}{3}.sin(-2x) + 2cos\frac{4π}{3}.sin(-2x) – 2sin2x\)
\(= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0\)
vì \(cos\frac{2π}{3} = cos\frac{4π}{3} = -\frac{1}{2}\).
Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trả lời