Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
Bài Tập 3 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \(\)\(G_1\) và \(G_2\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d. Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
b. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, gọi \(G_1, G_2\) là giao điểm của AC’ với A’O và CO’. Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra \(G_1, G_2\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.
d. (A’IO) ≡ (AA’C’C)
Câu a: Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
Ta có: BB’ // DD’; BB’ = DD’ ⇒ BDD’B’ là hình bình hành ⇒ BD // B’D’.
BC // A’D’; BC = A’D’ ⇒ BCD’A’ là hình bình hành ⇒ A’B // CD’.
⇒ (BDA’) // (B’D’C)
Câu b: Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \(G_1\) và \(G_2\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD, A’B’C’D’, G_1, G_2\) là giao điểm của AC’ với A’O và CO’.
\(Δ G_1OA\) đồng dạng \(ΔG_1A’C’\) (g.g)
\(⇒ \frac{G_1O}{G_1A’} = \frac{OA}{A’C’} = \frac{1}{2} ⇒ \frac{A’G_1}{A’O} = \frac{2}{3}\)
Lại có \(G_1 ∈ A’O\) là đường trung tuyến của \(ΔBDA’ ⇒ G_1\) là trọng tâm ΔA’BD.
Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm ΔB’D’C.
Vậy AC’ đi qua \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
Cách khác:
Gọi O = AC ∩ BD
– Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)
⇒ A’O ⊂ (AA’C’C)
Trong (AA’C’C), gọi \(AO ∩ AC = G_1\).
\(G_1 ∈ AO ⊂ (ABD)\)
\(⇒ G_1 ∈ AC ∩ (BDA)\)
– Trong hình bình hành AA’C’C gọi
I = A’C ∩ AC’
⇒ A’I = IC
⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC’
\(⇒ G_1 = AO ∩ AC\) là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC
\(⇒ G_1\) là trọng tâm ΔA’AC
\(⇒ AG_1 = \frac{2.AO}{3}\)
\(⇒ G_1\) cũng là trọng tâm ΔA’BD.
Vậy AC’ đi qua trọng tâm \(G_1\) của ΔA’BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm \(G_2\).
Câu c: Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Chứng minh
\(\frac{AG_1}{G_1C’} = \frac{AO}{A’C’} = \frac{1}{2}\) (vì \(ΔG_1OA\) đồng dạng \(ΔG_1A’C’\)) \(⇒ AG_1 = \frac{1}{3}AC’.\)
\(\frac{C’G_2}{G_2A} = \frac{C’O’}{CA} = \frac{1}{2}\) (vì \(ΔG_2C’O’\) đồng dạng \(ΔG_2AC\)) \(⇒ C’G_2 = \frac{1}{3}AC’.\)
Từ đó suy ra: \(AG_1 = G_1G_2 = G_2C’\)
Cách khác
– Vì \(G_1\) là trọng tâm của ΔA’AC nên \(\frac{AG_1}{AI} = \frac{2}{3}.\)
Vì I là trung điểm của AC’ nên \(AI = \frac{1}{2}.AC\)
Từ các kết quả này, ta có: \(AG_1 = \frac{1}{3}.AC\)
– Chứng minh tương tự ta có: \(CG_2 = \frac{1}{3}.AC\)
Suy ra: \(AG_1 = G_1G_2 = G_2C = \frac{1}{3}.AC\)
Câu d: Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
(A’IO) ≡ (AA’C’C) suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (A’IO) là AA’C’C.
Câu a: Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
Ta có: BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên suy ra được:
BD // B’D’ và DA’ // B’C
Từ đó suy ra hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau từng đôi một.
Suy ra (BDA’) // (B’D’C)
Câu b: Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \(G_1\) và \(G_2\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
Ta gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mp(AA’C’C), gọi \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của AC’ với A’O và O’C.
Sau đó ta chứng minh \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và tam giác CB’D’.
Thật vậy ta có: \(ΔG_1OA ∼ G_1A’C’\) (vì AC // A’C’)
\(\frac{G_1O}{G_1A’} = \frac{OA}{A’C’} = \frac{1}{2} ⇒ \frac{AG_1}{A’O} = \frac{2}{3} ⇒ G_1\) là trọng tâm của tam giác A’BD.
Tương tự vậy ta có \(G_2\) là trọng tâm của ΔCB’D’.
Như vậy ta có AC’ đi qua G1, G2 là trọng tâm của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
Câu c: Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
Theo câu b) ta có:
\(\frac{AG_1}{G_1C’} = \frac{AO}{A’C’} = \frac{1}{2}\) (vì \(ΔG_1OA ∼ ΔG_1A’C’\))
\(⇒ AG_1 = \frac{1}{3}AC’\) (1)
Tương tự như vậy ta có:
\(\frac{C’G_2}{G_2A} = \frac{C’O’}{CA} = \frac{1}{2}\) (vì \(ΔG_2C’O’ ∼ ΔG_2AC\))
\(\Rightarrow C’G_2 = \frac{1}{3}AC'(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra được \(AG_1 = G_1G_2 = G_2C’\)
Vậy \(G_1, G_2\) chia đoạn AC’ thành 3 phần bằng nhau.
Câu d: Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Ta có: O ∈ AC ⇒ O ∈ (ACC’A’)
I ∈ (ACC’A’) và A’ ∈ (ACC’A’)
⇒ Hai mặt phẳng (A’IO) và (ACC’A’) trùng nhau.
⇒ Thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp là hình bình hành ACC’A’.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời