Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
Bài Tập 4 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi \(\)\(A_1\) là trung điểm của cạnh SA và \(A_2\) là trung điểm của đoạn \(AA_1\). Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đị qua \(A_1, A_2\). Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \(B_1, C_1, D_1\). Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \(B_2, C_2, D_2\). Chứng minh:
a. \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b. \(B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D\)
c. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại và hai giao tuyến song song.
Và định lí đường trung bình của tam giác.
b. Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang.
c. Dựa vào định nghĩa hình chóp cụt (SGK Hình học 11 trang 70).
Câu a: \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
Ta có: \(\begin{cases}(α) // (ABCD)\\(SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ A_1B_1 // AB\\(SAB) ∩ (α) = A_1B_1\end{cases}\)
Mặt khác \(A_1\) là trung điểm của SA nên \(A_1B_1\) là đường trung bình của tam giác SAB.
\(⇒ B_1\) là trung điểm của SB.
Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.
Câu b: \(B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D\)
Ta có \(\begin{cases}(β) // (ABCD)\\(SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ A_2B_2 // AB\\(SAB) ∩ (β) = A_2B_2\end{cases}\)
Mà \(A_1B_1 // AB ⇒ A_2B_2 // A_1B_1\)
\(A_2\) là trung điểm của \(AA_1\) nên \(A_2B_2\) là đường trung bình của hình thang \(ABB_1A_1\).
\(⇒ B_2\) là trung điểm của \(B_1B\).
Do đó \(B_1B_2 = B_2B\)
Chứng minh tương tự ta được: \(C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D.\)
Câu c: Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD
Có hai hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \(ABCD: ABCD.A_1B_1C_1D_1; ABCD.A_2B_2C_2D_2.\)
Câu a: \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
Vì mp(SAB) cắt hai mặt phẳng // với (α) và (ABCD) theo hai giao tuyến lần lượt \(A_1B_1\) và AB.
Suy ra \(A_1B_1 // AB\).
Suy ra \(A_1B_1\) là đường trung bình của tam giác SAB.
Suy ra \(B_1\) là trung điểm của SB.
Tương tự như trên ta có:
\(B_1C_1\) là đường trung bình của tam giác SBC.
\(⇒ C_1\) là trung bình của SC.
\(C_1D_1\) là đường trung bình của tam giác SCD.
\(⇒ D_1\) là trung điểm của SD.
Câu b: \(B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D\)
Vì mặt phẳng (SAB) cắt hai mặt phẳng // (β) và (ABCD) theo 2 giao tuyến lần lượt là \(A_2B_2\) và AB.
\(⇒ A_2B_2 // AB\)
\(⇒ A_2B_2\) là trung bình của hình thang \(A_1B_1BA\)
\(⇒ B_1B_2 = B_2B\)
Tương tự: \(B_2C_2\) là đường trung bình của hình thang \(B_1C_1CB\)
\(⇒ C_1C_2 = C_2C\)
\(C_2D_2\) là đường trung bình của hình thang \(C_1D_1DC\)
\(⇒ D_1D_2 = D_2D\)
Câu c: Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD
Có 2 hình chóp cụt có đáy là tứ giác ABCD đó là: \(A_1B_1C_1D_1.ABCD\) và \(A_2B_2C_2D_2.ABCD\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời