Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài Tập Ôn Tập Chương III
Bài Tập 4 Trang 121 SGK Hình Học Lớp 11
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc \(\)\(\widehat{BAD} = 60^0\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{3a}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn BE.
a. Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b. Tính các khoảnh cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 121 SGK Hình Học Lớp 11
b. Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Chứng minh \(d(A; (SBC)) = 2d(O; (SBC))\)
Câu a: Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Theo giả thiết \(\widehat{BAD} = 60^0\) nên theo tính chất của hình thoi \(\widehat{BCD} = 60^0\) hay tam giác BDC đều.
\(⇒ BD = a ⇒ BO = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}; BE = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác BOE có \(BO = BE = \frac{a}{2}\) và \(\widehat{OBE} = 60^0\) nên tam giác BOE đều.
Do đó OF là đường cao và ta được OF ⊥ BC.
\(\begin{cases}SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO\\BC ⊥ OF\end{cases} ⇒ BC ⊥ (SOF)\)
Mà \(BC ⊂ (SBC) ⇒ (SOF) ⊥ (SBC)\)
Câu b: Tính các khoảnh cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
Kẻ OH ⊥ SF
\(\begin{cases}(SOF) ⊥ (SBC)\\(SOF) ∩ (SBC) = SF\\ OH ⊥ SF\\ OH ⊂ (SOF)\end{cases}\)
\(⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = OH\)
Ta có: Tam giác OBF vuông tại F nên \(OF = \sqrt{OB^2 – BF^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 – (\frac{a}{4})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(OH.SF = SO.OF ⇒ OH = \frac{SO.OF}{SF} = \frac{3a}{8}\)
Gọi K là hình chiếu của A trên (SBC), ta có AK // OH.
Trong Δ AKC thì OH là đường trung bình, do đó: \(AK = 2OH ⇒ AK = \frac{3a}{4}\)
Vậy \(d(A; (SBC)) = \frac{3a}{4}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 121 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài Tập Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời