Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài Tập Ôn Tập Chương III
Bài Tập 6 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a. Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD).
b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11
b. Xác định mặt phẳng (AB’D’) chứa AB’ và song song BC’, tìm hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’).
Câu a: Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD).
Ta có tứ giác BCC’B’ là hình vuông nên BC’ ⊥ B’C (1)
Mặt khác A’B’ ⊥ (BCC’B’) ⇒ A’B’ ⊥ BC’ (2)
Câu b: Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’.
Do AD’ // BC’ nên mặt phẳng (AB’D’) là mặt phẳng chứa AB’ và song song với BC’.
Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’)
Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD’A’ và BCC’B’
Từ F kẻ FI ⊥ B’E. Ta có BC’ // AD’ mà BC’ ⊥ (A’B’CD)
⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD) và IF ⊂ (A’B’CD)
AD’ ⊥ IF (3)
EB’ ⊥ IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra: IF ⊥ (AB’D’)
Vậy I là hình chiếu của F trên mặt phẳng (AB’D’). Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’).
Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC’ tại H. KH chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’. Thật vậy:
IF ⊥ (AB’D’) ⇒ IF ⊥ AB’ và KH // IF suy ra KH ⊥ AB’
\(\)\(\begin{cases}BC’ ⊥ (A’B’CD)\\IF ⊂ (A’B’CD)\end{cases} ⇒ \begin{cases}IF ⊥ BC’\\KH // IF\end{cases} ⇒ KH ⊥ BC’\)Tam giác EFB’ vuông góc tại F, FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên
\(\frac{1}{IF^2} = \frac{1}{FB^2} + \frac{1}{FE^2}\) với \(\begin{cases}FB’ = \frac{a\sqrt{2}}{2}\\EF = a\end{cases}\)
Ta tính ra: \(IF = \frac{a\sqrt{3}}{3} ⇒ KH = IF = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài Tập Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời