Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài Tập Ôn Tập Chương III
Bài Tập 7 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc \(\)\(\widehat{BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c. Chứng minh SB vuông góc với BC.
d. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11
b. Chứng minh mặt phẳng (SAC) chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c. Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh ΔSBC vuông tại B.
d. Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Câu a: Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
Kẻ SH ⊥ (ABCD)
Do SA = SB = SD suy ra HA = HB = HC
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Ta có: \(AB = AD = a\) và \(\widehat{BAD} = 60^0\) nên ΔABD là tam giác đều cạnh a.
\(⇒ AO = \frac{a\sqrt{3}}{2}, AH = \frac{2}{3}AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Trong tam giác vuông SAH, ta có: \(SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}; AH = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(⇒ SH = \sqrt{SA^2 – AH^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} – \frac{a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{15}}{6}\)
\(CH = AC – AH = 2AO – AH = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} – \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Câu b: Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
\(\begin{cases}SH ⊥ (ABCD)\\SH ⊂ (SAC)\end{cases} ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD)\)
Câu c: Chứng minh SB vuông góc với BC.
Ta có: \(SC^2 = \frac{7a^2}{4}; BC^2 = a^2; SB^2 = \frac{3a^2}{4}\)
\(⇒ SC^2 = BC^2 + SB^2\)
⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ SB ⊥ BC
Cách khác
Ta có: SH ⊥ (ABD) ⇒ SH ⊥ AD
H là tâm tam giác ABD nên BH ⊥ AD
\(\begin{cases}BH ⊥ AD\\SH ⊥ AD\end{cases} ⇒ AD ⊥ (SBH)\)
Mà BC // AD nên BC ⊥ (SBH)
⇒ BC ⊥ SB
Câu d: Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.
\(\begin{cases}DB ⊥ AC\\SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ DB\end{cases}\)
\(⇒ DB ⊥ (SAC)\)
\(⇒ \begin{cases}DB ⊥ OS\\DB ⊥ AC\end{cases}\)
\(\begin{cases}(SBD) ∩ (ABCD) = BD\\SO ⊥ BD, AC ⊥ BD\\SO ⊂ (SBD)\\AC ⊂ (ABCD)\end{cases}\)
Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay \(\widehat{SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
Ta có: \(SH = \frac{a\sqrt{15}}{6}\) và \(OH = \frac{1}{3}AO = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(⇒ tan φ = \frac{SH}{OH} = \frac{\frac{a\sqrt{15}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \sqrt{5}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 122 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài Tập Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời