Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp
Nội dung Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Học sinh nắm được khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nắm được công thức tính số hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử, hiểu được cách chứng minh định lí về số các hoán vị. Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Phân biệt các khái niệm : Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Về kỹ năng, giúp phân biệt được tổ hợp và chỉnh hợp bằng cách hiểu sắp xếp thứ tự và không thứ tự. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Hoán Vị
1. Định nghĩa
Ví dụ 1. Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải thực hiện đá luân lưu 11 m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11 m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt.
Giải: Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Để tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, … và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầu thủ. Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, … và B đá quả cuối cùng.
Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:
Cách 1: ABCDE.
Cách 2: ACBDE.
Cách 3: CABED.
Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ.
Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Câu hỏi 1 bài 2 trang 47 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
Giải: Ghép 3 chữ số lần lượt tạo thành các số có 3 chữ số.
Các số có 3 chữ số lập được từ 3 chữ số 1,2,3 là:
123; 132; 213; 231; 312; 321.
Nhận xét
Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
2. Số các hoán vị
Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ?
Giải. Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên của bốn bạn và viết ACBD để mô tả cách xếp chỗ như Hình 27.
a. Cách thứ nhất: Liệt kê.
Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DACB, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Như vậy có 24 cách, mỗi cách cho ta một hoán vị tên của bốn bạn và ngược lại.
b. Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân.
– Có bốn cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
– Sau khi đã chọn một bạn, còn ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ hai.
– Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn ngồi vào chỗ thứ ba.
– Bạn còn lại được xếp vào chỗ thứ tư.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là
4.3.2.1 = 24 (cách).
Kí hiệu \(\)\(P_n\) là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí sau đây.
Định lí
\(P_n = n(n – 1)… 2.1.\)
Chứng minh. Để lập được mọi hoán vị của n phần tử, ta tiến hành như sau:
Chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất. Có n cách.
Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất, có n – 1 cách chọn một phần tử cho vị trí thứ hai.
….
Sau khi đã chọn n – 2 phần tử cho n – 2 vị trí đầu tiên, có hai cách chọn một trong hai phần tử còn lại để xếp vào vị trí thứ n – 1.
Phần tử còn lại sau cùng được xếp vào vị trí thứ n.
Như vậy, theo quy tắc nhân, có n.(n – 1) … 2.1 kết quả sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho.
Vây \(P_n = n(n – 1) …2.1.\)
Chú ý
Kí hiệu \(n(n – 1) … 2.1\) là n! (đọc là n giai thừa), ta có \(P_n = n!\)
Câu hỏi 2 bài 2 trang 49 SGK đại số & giải tích lớp 11: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm mười người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải:
Mỗi cách sắp xếp 10 người thành một hàng dọc cũng là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự 10 phần tử của tập hợp. Trong đó tập hợp là tiểu đội và mỗi người là một phần tử.
Như vậy số cách sắp xếp chính là số các hoàn vị của 10 phần tử, là: 10! = 3628800 (cách)
II. Chỉnh Hợp
1. Định nghĩa
Ví dụ 3. Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế.
Giải. Ta có bảng phân công sau đây.
Quét nhà | Lau bảng | Sắp bàn ghế |
A A C … |
C D B … |
D C E … |
Mỗi cách phân công nêu trong bảng trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n > 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Câu hỏi 3 bài 2 trang 49 SGK đại số & giải tích lớp 11: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho.
Giải:
Lấy hai điểm bất kì trong số 4 điểm đã cho, một điểm làm gốc, một điểm làm ngọn sẽ được một véc tơ.
Chú ý: Véc tơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
\(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD}; \overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CD}; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DB}; \overrightarrow{DC}\)
2. số các chỉnh hợp
Trở lại Ví dụ 3, ngoài cách tính số cách phân công trực nhật bằng phương pháp liệt kê, ta còn có một cách khác là sử dụng quy tắc nhân. Để tạo nên mọi cách phân công, ta tiến hành như sau:
– Chọn một bạn từ năm bạn để giao việc quét nhà. Có 5 cách.
– Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại để giao việc lau bảng. Có 4 cách.
– Khi đã có các bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn một bạn từ ba bạn còn lại để giao việc sắp bàn ghế. Có 3 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là
5.4.3 = 60 (cách).
Nói cách khác, ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn.
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n). Ta có định lí sau đây.
Định lí
\(A_n^k = n(n – 1) … (n – k + 1)\)
Chứng minh. Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau:
Chọn một trong n phần tử đã cho xếp vào vị trí thứ nhất. Có n cách.
Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n – 1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai. Có n – 1 cách.
…
Sau khi đã chọn k – 1 phần tử rồi, chọn một trong n – (k – 1) phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k. Có n – k + 1 cách.
Từ đó theo quy tắc nhân, ta được
\(A_n^k = n(n – 1) … (n – k + 1).\)
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, …, 9?
Giải: Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là \(A_9^5 = 9.8.7.6.5 = 15120\).
Chú ý:
a. Với quy ước \(0! = 1\), ta có
\(A_n^k = \frac{n!}{(n – k)!}, 1 ≤ k ≤ n.\)
b. Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy \(P_n = A_n^n\).
III. Tổ Hợp
1. Định nghĩa
Ví dụ 5. Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho?
Giải. Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm ba điểm từ tập đã cho. Vậy ta có bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa
Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý
Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện \(1 ≤ k ≤ n\). Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
Câu hỏi 4 bài 2 trang 51 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A.
Giải:
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n ( với n là số phần tử của A).
Các tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 3 phần tử của A) là:
{1, 2, 3}; {1, 2, 4}; {1, 2, 5}; {1, 3, 4}; {1, 3, 5}; {1, 4, 5}; {2, 3, 4}; {2, 3, 5}; {2, 4, 5}; {3, 4, 5}
Các tổ hợp chập 4 của 5 phần tử của A (hay các tập hợp con có 4 phần tử của A) là:
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 3, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
2. Số các tổ hợp
Kí hiệu \(C_n^k\) là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).
Ta có định lí sau đây.
Định lí
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)
Chứng minh. Với k = 0, công thức hiển nhiên đúng.
Với k ≥ 1, ta thấy một chỉnh hợp chập k của n phần tử được thành lập như sau:
– Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử. Có \(C_n^k\) cách chọn.
– Sắp thứ tự k phần tử chọn được. Có k! cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là \(A_n^k = C_n^k.k!\)
Từ đó \(C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n – k)!}\)
Ví dụ 6. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn địa biểu gồm 5 người. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b. Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ban nam, hai nữ?
Giải:
Câu a: Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có là \(C_{10}^5 = \frac{10!}{5!5!} = 252\).
Câu b: Chọn 3 người từ 6 nam. Có \(C_6^3\) cách chọn.
Chọn 2 người từ 4 nữ. Có \(C_4^2\) cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có tất cả \(C_6^3. C_4^2 = 20.6 = 120\) cách lập đoàn đại biểu gồm ba nam và hai nữ.
Câu hỏi 5 bài 2 trang 52 SGK đại số & giải tích lớp 11: Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
Giải:
Để hai đội bất kì gặp nhau đúng một lần, tức là trong số 16 đội mỗi trận sẽ lấy 2 đội bất kì, và mỗi lần lấy có ít nhất 1 đội khác với các lần khác. Nói cách khác, số trận đấu chính là số tập hợp con gồm 2 phần tử của tâp hợp gồm 16 phần tử.
Số trận đấu là số tổ hợp chập 2 của 16 phần tử:
\(C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16 – 2)!} = \frac{16!}{2!.14!} = \frac{15.16}{2} = 120\) (trận)
3. Tính chất của các số \(C_n^k\)
Từ định lí về công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử, ta có các tính chất sau đây.
a. Tính chất 1
\(C_n^k = C_n^{n – k}; (0 ≤ k ≤ n).\)
Chẳng hạn, \(C_7^3 = C_7^4 = 35\).
b. Tính chất 2 (công thức Pa-xcan)
\(C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k; (1 ≤ k < n)\)
Chẳng hạn, \(C_7^3 + C_7^4 = C_8^4 = 70\)
Ví dụ 7. Chứng minh rằng, với \(2 ≤ k ≤ n – 2\), ta có \(C_n^k = C_{n – 2}^{k – 2} + 2C_{n – 2}^{k – 1} + C_{n – 2}^k\)
Giải: Theo tính chất 2, ta có
\(C_{n – 2}^{k – 2} + C_{n – 2}^{k – 1} = C_{n – 1}^{k – 1}\) (1)
\(C_{n – 2}^{k – 1} + C_{n – 2}^k = C_{n – 1}^k\) (2)
Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) và theo Tính chất 2, ta có \(C_{n – 2}^{k – 2} + 2C_{n – 2}^{k – 1} + C_{n – 2}^k = C_{n – k}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k.\)
Bài Tập SGK Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu số?
b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c. Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Bài Tập 2 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?
Bài Tập 3 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Bài Tập 4 Trang 55 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Bài Tập 5 Trang 55 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không qua một bông) nếu:
a. Các bông hoa khác nhau?
b. Các bông hoa như nhau?
Bài Tập 6 Trang 55 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Bài Tập 7 Trang 55 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
Ở trên là nội dung Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Thông qua nội dung bài học các bạn sẽ nắm được khái niệm và phân biệt được sự khác nhau của Hoán vị, Tổ hợp,Chỉnh hợp. Cùng với một số bài tập điển hình có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm vững được nội dung bài học. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời