Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Nội dung Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn tìm hiểu được khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một biến, bên cạnh đó là các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm theo đó là những ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn hoàn thành các bài tập về nhà.
I. Định Nghĩa
Cho hàm số \(\)\(y = f(x)\) xác đinh trên tập D.
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập D nếu \(f(x) ≤ M\) với mọi x thuộc D và tồn tại \(x_0 ∈ D\) sao cho \(f(x_0) = M\).
Kí hiệu \(M = \mathop {\max}\limits_{D}f(x).\)
b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập D nếu \(f(x) ≥ m\) với mọi x thuộc D và tồn tại \(x_0 ∈ D\) sao cho \(f(x_0) = m\).
Kí hiệu \(m = \mathop {\min}\limits_{D}f(x).\)
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x – 5 + \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; +∞)\).
Giải: Trên khoảng \((0; +∞)\), ta có \(y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}; y’ = 0 ⇔ x^2 – 1 = 0 ⇔ x = 1.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng \((0; +∞)\) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Vậy \(\mathop {\min}\limits_{(0; +∞)}f(x) = -3\) (tại \(x = 1\)). Không tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng \((0; +∞)\).
II. Cách Tính Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Một Đoạn
Câu hỏi 1 bài 3 trang 20 SGK giải tích lớp 12: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. \(y = x^2\) trên đoạn \([-3; 0]\)
b. \(y = \frac{x + 1}{x – 1}\) trên đoạn \([3; 5]\)
Giải:
Câu a: \(y = x^2\) trên đoạn \([-3; 0]\)
Phương pháp giải:
Tính y’, nhận xét về dấu của y’ trên đoạn đang xét [a, b] rồi kết luận.
– Nếu hàm số đơn điệu trên đoạn đang xét, rút ra GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số.
– Nếu hàm số k đơn điệu trên cả đoạn đang xét thì tìm \(maxy(x_i), y(a), y(b)\) và \(miny(x_i), y(a), y(b)\) với \(x_i\) là các nghiệm của phương trình \(y’ = 0\). Rồi kết luận.
\(y’ = 2x ≤ 0\) trên đoạn \([-3; 0]\).
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn \([-3, 0]\).
Khi đó trên đoạn \([-3, 0]\): hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = -3\) và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 0\) và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Câu b: \(y = \frac{x + 1}{x – 1}\) trên đoạn \([3; 5]\)
Phương pháp giải:
– Tính y’, nhận xét về dấu của y’ trên khoảng đang xét rồi kết luận.
– Từ tính đơn điệu, rút ra GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số.
\(y’ = \frac{-2}{(x – 1)^2} < 0\) trên đoạn \([3; 5]\).
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn \([3; 5]\).
Khi đó trên đoạn \([-3, 5]\): hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 3\) và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 5\) và giá trị nhỏ nhất bằng 1.5.
1. Định lý
Ta thừa nhận định lý này.
Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = sinx\).
a. Trên đoạn \([\frac{π}{6}; \frac{7π}{6}]\)
b. Trên đoạn \([\frac{π}{6}, 2π]\)
Giải:
Từ đồ thị của hàm số \(y = sinx\) (hình 9), ta thấy ngay:
a. Trên đoạn \(D = [\frac{π}{6}; \frac{7π}{6}]\) ta có:
\(y(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}; y(\frac{π}{2}) = 1; y(\frac{7π}{6}) = -\frac{1}{2}\)
Từ đó \(\mathop {\max}\limits_{D}y = 1; \mathop {\min}\limits_{D}y = -\frac{1}{2}\)
b. Trên đoạn \(E = [\frac{π}{6}, 2π]\) ta có
\(y(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, y(\frac{π}{2}) = 1, y(\frac{3π}{2}) = -1, y(2π) = 0\)
Vậy \(\mathop {\max}\limits_{E}y = 1; \mathop {\min}\limits_{E}y = -1\)
2. Quy tác tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Câu hỏi 2 bài 3 trang 21 SGK giải tích lớp 12: Cho hàm số \(y = \begin{cases}-x^2 + 2 \, \, nếu\, \, -2 ≤ x ≤ 1\\x \, \,nếu \, \, 1 < x ≤ 3\end{cases}\) có đồ thị như hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 3]\) và nêu cách tính.
Giải: Quan sát đồ thị, đoạn \([-2; 3]\), tìm điểm có tung độ y lớn nhất (nhỏ nhất) từ đó kết luận GTLN (GTNN).
Trên đoạn \([-2; 3]\), điểm thấp nhất của đồ thị hàm số có tọa độ là \((-2; -2)\) và điểm cao nhất có tọa độ \((3; 3)\).
Vậy GTLN là 3 và GTNN là -2.
Nhận xét:
Nếu đạo hàm f'(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biển hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm \(x_i (x_i < x_{i + 1})\) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số \(y = f(x)\) đơn điệu trên mỗi khoảng \((x_i; x_{i + 1})\). Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và tại các điểm \(x_i\) nói trên.
Quy tắc:
1. Tìm các điểm \(x_1, x_2,…, x_n\) trên khoảng (a; b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
2. Tính \(f(a), f(x_1), f(x_2),…,f(x_n), f(b)\)
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
\(M = \mathop {\max}\limits_{[a; b]}f(x), m = \mathop {\min}\limits_{[a; b]}f(x)\)
Chú ý:
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1). Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như trong Ví dụ 3 dưới đây.
Ví dụ 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như Hình 11 để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
Giải: Gọi x là cạnh của hình vuông bị cắt.
Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < \frac{a}{2}\).
Thể tích của khối hộp là \(V(x) = x(a – 2x)^2 (0 < x < \frac{a}{2})\)
Ta phải tìm \(x_0 ∈ (0; \frac{a}{2})\) sao cho \(V_{(x_0)}\) có giá trị lớn nhất.
Ta có \(V'(x) = (a – 2x)^2 + x.2(a – 2x).(-2) = (a – 2x)(a – 6x)\)
Trên khoảng \((0; \frac{a}{2})\), ta có:
\(V'(x) = 0 ⇔ x = \frac{a}{6}\)
Bảng biến thiên
Từ bảng trên ta thấy trong khoảng \((0; \frac{a}{2})\) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại \(x = \frac{a}{6}\) nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất: \(\mathop {\max}\limits_{(0; \frac{a}{2})}V(x) = \frac{2a^3}{27}\)
Câu hỏi 3 bài 3 trang 23 SGK giải tích lớp 12: Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = -\frac{1}{1 + x^2}\). Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.
Phương pháp giải:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I = 1, 2, 3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
– Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Dựa vào bảng biến thiên, khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó để suy ra GTNN
Giải:
1. Tập xác định: D = R
2. \(y’ = \frac{2x}{(1 + x^2)^2}\)
Cho y’ = 0 thì x = 0
3. Bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là -1 tại x = 0.
Bài Tập Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Hướng dẫn giải bài tập Bài Tập Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Hướng dẫn giải bài tập kèm theo phương pháp giải và nhiều cách giải khác nhau.
Bài Tập 1 Trang 23 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\) trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b. \(y = x^4 – 3x^2 + 2\) trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
c. \(y = \frac{2 – x}{1 – x}\) trên các đoạn [2; 4] và [-3; -2]
d. \(y = \sqrt{5 – 4x}\) trên đoạn [-1; 1]
Bài Tập 2 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài Tập 3 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \(\)\(48m^2\), hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Bài Tập 4 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a. \(y = \frac{4}{1 + x^2}\)
b. \(y = 4x^3 – 3x^4\)
Bài Tập 5 Trang 24 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. \(\)\(y = |x|\)
b. \(y = x + \frac{4}{x} (x > 0)\)
Bài Đọc Thêm
Cung Lồi, Cung Lõm Và Điểm Uốn
1. Khái niệm về cung lồi, cung lõm và điểm uốn
Xét đồ thị CB của hàm số \(y = f(x)\) biểu diễn trên hình 12.
Giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm.
Tại mọi điểm của cung \(\widehat{AC}\), tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên của \(\widehat{AC}\). Ta nói \(\widehat{AC}\) là một cung lồi.
Nếu a là hoành đồ của điểm A, c là hoành độ của điểm C, thì khoảng (a; c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị.
Tại mọi điểm của cung \(\widehat{CB}\), tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới của \(\widehat{CB}\). Ta nói \(\widehat{CB}\) là cung lõm.
Kí hiệu b là hoành độ của điểm B thì khoảng (c; b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị.
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị. Trên hình 12, C là một điểm uốn.
Chú ý:
1. Tại điểm uốn, tiếp tuyến đi xuyên qua đồ thị.
2. Trong một số giáo trình, nhất là giáo trình Giải tích toán học ở Đại học, người ta gọi \(\widehat{AC}\) trên hình 12 là cung lõm và \(\widehat{CB}\) là cung lồi.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Ta có hai đinh lý sau đây:
Định lý 1:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b).
Nếu \(f”(x) < 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu \(f”(x) > 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Định lý 2:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b) và \(x_0 ∈ (a; b)\). Nếu f”(x) đổi dấu khi x đi qua \(x_0\) thì điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
3. Áp dụng
Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số.
a. \(y = x^5\)
b. \(y = -sinx\) trên đoạn \([0; 2π]\)
Giải:
Câu a: Tập xác định: R
Ta có: \(y’ = 5x^4, y” = 20x^3\)
Bảng xét dấu y”
Vậy đồ thị hàm số lồi trên khoảng \((-∞; 0)\), lõm trên khoảng \((0; +∞)\). Điểm \(O(0; 0)\) là điểm uốn của đồ thị hàm số (Hình 13)
Câu b: \(y = -sinx\) trên đoạn \([0; 2π]\)
Ta có \(y’ = -cosx, y” = sinx\)
Bảng xét dấu y”
Vậy trên đoạn đã cho, đồ thị hàm số lõm trên khoảng \((0; π)\), lồi trên khoảng \((π; 2π)\). Điểm \(A(π; 0)\) là điểm uốn của đồ thị hàm số (Hình 14).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 1}{x – 1}\)
Giải: Tập xác định: R\{1}
\(y’ = -\frac{2}{(x – 1)^2}\), xác định với mọi x ≠ 1.
\(y” = \frac{4}{(x – 1)^3}\), xác định với mọi x ≠ 1.
Bảng xét dấu y”
Vậy đồ thị của hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) và lõm trên khoảng (1; +∞).
(Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số không xác định tại điểm x = 1).
Ở trên là nội dung Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Trả lời