Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số.
\(\)\(y = -x^3 + 2x^2 – x – 7\)\(y = \frac{x – 5}{1 – x}\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
Hàm số: \(y = -x^3 + 2x^2 – x – 7\)
Bước 1: Tính đạo hàm y′
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình y′ = 0, các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định
Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
Biết rằng:
a. Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b. Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
Giải: Xét hàm số: \(y = -x^3 + 2x^2 – x – 7\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = -3x^2 + 4x – 1 ⇒ y’ = 0\)
\(⇔ -3x^2 + 4x – 1 = 0\)
\(⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} 3x – 1 = 0 \\ x – 1 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3} \\ x = 1\\ \end{gathered} \right.\)
Hàm số đồng biến \(⇔ y’ > 0 ⇔ -3x^2 + 4x – 1 > 0\)
\(⇔ 3x^2 – 4x + 1 < 0\)
\(⇔ (3x – 1)(x – 1) < 0\)
\(⇔ \frac{1}{3} < x < 1\)
Hàm số nghich biến \(⇔ y’ < 0 ⇔ -3x^2 + 4x – 1 < 0\)
\(⇔ 3x^2 – 4x + 1 > 0\)
\(⇔ (3x – 1)(x – 1) > 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x > 1 \\ x < \frac{1}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Vậy hàm số đồng biến trong \((\frac{1}{3}, 1)\) và nghịch biến trong \((-∞, \frac{1}{3})\) và \((1, +∞)\).
Hàm số: \(y = \frac{x – 5}{1 – x}\)
Giải: Xét hàm số: \(y = \frac{x – 5}{1 – x} = \frac{x – 5}{-x + 1}\)
Tập xác định: D = R\{1}
Ta có: \(y’ = \frac{1.1 – 5.1}{(1 – x)^2} = \frac{-4}{(1 – x)^2} < 0\), ∀x ∈ D
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \((-∞, 1)\) và \((1, +∞)\).
* Xét hàm số: \(y = -x^3 + 2x^2 – x – 7\)
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu là:
Ta có: hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên K như sau:
- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x) ≥ 0\) với mọi \(x ∈ K\)
- Ngược lại nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x) ≤ 0\) với mọi \(x ∈ K\).
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu như sau:
Ta có: hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên K như sau:
- Nếu \(f'(x) ≥ 0\) với mọi \(x ∈ K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
- Nếu \(f'(x) ≤ 0\) với mọi \(x ∈ K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
Từ lý thuyết trên, ta tính khoảng đơn điệu của hàm số:
Xét hàm số \(y = -x^3 + 2x^2 – x – 7\).
Tập xác định: D = R
\(y’ = -3x^2 + 4x -1, y’ = 0\)
\(⇔ -3x^2 + 4x – 1 = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1\\ x = \frac{1}{3} \end{matrix}\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
* Xét hàm số \(y = \frac{x – 5}{1 – x}\).
Tập xác định: D = R \ {1}.
\(y’ = \frac{1 – x + x – 5}{(1 – x^2)^2} = \frac{-4}{(1 – x)^2} < 0\); ∀x ∈ R\{1}
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((−∞; 1)\) và \((1; +∞)\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời