Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\)\(y = x^3 + 3x^2 + 1\).
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3 + 3x^2 + 1 = \frac{m}{2}\).
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 + 1\).
Phương pháp giải:
* Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
– Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tại các điểm đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
– Tìm cực trị
– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
– Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Giải:
\(y = x^3 + 3x^2 + 1\)
Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 3x(x + 2) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = 2 \\ x + 2 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = -2\\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; -2)\) và \((0; +∞)\), nghịch biến trên khoảng \((-2; 0)\).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -2; y_{CĐ} = 5\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = 1\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞, \lim_{x → +∞}y = +∞\)
– Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao Oy tại (0; 1)
Đồ thị hàm số nhận \(I(-1; 3)\) làm tâm đối xứng.
Câu b: Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3 + 3x^2 + 1 = \frac{m}{2}\).
Phương pháp giải: Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \frac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = \frac{m}{2}\). Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.
Giải: Số nghiệm của phương trình \(x^3 + 3x^2 + 1 = \frac{m}{2}\) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y = \frac{m}{2}\).
Từ đồ thị ta thấy:
– Với \(\frac{m}{2} < 1 ⇔ m < 2\): (d) cắt (c) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
– Với \(\frac{m}{2} = 1 ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
– Với \(1 < \frac{m}{2} < 5 ⇔ 2 < m < 10\): (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.
– Với \(\frac{m}{2} = 5 ⇔ m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
– Với \(\frac{m}{2} > 5 ⇔ m > 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu \(M < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
– Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
– Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu c: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Viết phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:
– Tìm tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) suy ra tọa độ VTPT của đường thẳng:
– Viết phương trình đường thẳng theo công thức
\(a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0\)
Giải: Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(A(-2; 5)\), điểm cực tiểu là \(B(0, 1)\).
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (2; -4) ⇒ \overrightarrow{n_{AB}} = (4; 2)\) là VTPT của AB.
AB đi qua \(A(-2; 5)\) và nhận \(\overrightarrow{n_{AB}} = (4; 2)\) làm VTPT nên có phương trình:
\(4(x + 2) + 2(y – 5) = 0\)
\(⇔ 4x + 2y – 2 = 0 ⇔ 2x + y – 1 = 0\)
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 + 1\).
Tìm tập xác định, tính sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số như sau:
\(y = x^3 + 3x^2 + 1\)
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: \(y’= 3x^2 + 6x, y’ = 0\)
\(⇔ 3x^2 + 6x = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 \\ x = 0\\ \end{gathered} \right.\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -2)\) và \((0; +∞)\), nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = y(0) = 1\); đạt cực tiểu tại \(x = -2\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = y(-2) = 5\).
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(x^3 + 3x^2 + 1) = -∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(x^3 + 3x^2 + 1) = +∞\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị của hàm số là
Ta có: \(y” = 6x + 6, y” = 0 ⇔ x = -1\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \((-1; 3)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị cắt Oy tại điểm \((0; 1)\).
Với \(x = -3 ⇒ y = 1\)
Với \(x = 1 ⇒ y = 5\)
Câu b: Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: \(x^3 + 3x^2 + 1 = \frac{m}{2}\).
Số nghiệm của phương trình \(x^3 + 3x^2 + 1 = \frac{m}{2} (*)\) cũng chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \(y = \frac{m}{2}\).
Dựa vào đồ thị ở trên ta có:
– Nếu \(\left[ \begin{gathered} \frac{m}{2} > 5 \\ \frac{m}{2} < 1\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} m < 10 \\ m < 2\\ \end{gathered} \right.\) thì (*) có một nghiệm duy nhất.
– Nếu \(\left[ \begin{gathered} \frac{m}{2} = 5 \\ \frac{m}{2} = 1\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} m = 10 \\ m = 2\\ \end{gathered} \right.\) thì (*) có hai nghiệm phân biệt.
– Nếu \(1 < \frac{m}{2} < 5 ⇔ 2 < m < 10\) thì (*) có ba nghiệm phân biệt.
Câu c: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Trong mặt phẳng, ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B và có tọa độ cho trước là:
\(\frac{y – y_B}{y_A – y_B} = \frac{x – x_B}{x_A – x_B}\)
Từ kết quả câu a ta có điểm cực đại của đồ thị là (-2;5), điểm cực tiểu là (0;1). Cho nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(\frac{x + 2}{2} = \frac{y – 5}{1 – 5} ⇔ -2x – 4 = y ⇔ y = -2x + 1\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời