Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = -x^4 + 2mx^2 – 2m + 1\) (m là tham số) có đồ thị là \((C_m)\).
a. Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b. Với giá trị nào của m thì \((C_m)\) cắt trục hoành?
c. Xác định m để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu.
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Phương pháp giải: Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: y’ = 0. Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình y’ = 0.
Giải: \(y = -x^4 + 2mx^2 – 2m + 1 (C_m)\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = -4x^3 + 4mx = -4x(x^2 – m)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ -4x(x^2 – m) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 = m\\ \end{gathered} \right.\)
– Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là x = 0.
– Với m > 0 phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là \(x = ±\sqrt{m}\) và có một điểm cực tiểu là x = 0.
Câu b: Với giá trị nào của m thì \((C_m)\) cắt trục hoành?
Phương pháp giải: \((C_m)\) cắt trục hoành ⇔ phương trình \(y = f(x) = 0\) có nghiệm.
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C_m)\) và trục hoành là:
\(-x^4 + 2mx^2 – 2m + 1 = 0\)
\(⇔ (x^4 – 1) – 2m(x^2 – 1) = 0\)
\(⇔ (x^2 – 1)(x^2 + 1) – 2m(x^2 – 1) = 0\)
\(⇔ (x^2 – 1)(x^2 – 2m + 1) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x^2 – 1 = 0 \\ x^2 – 2m + 1 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = ±1 \\x^2 = 2m – 1\\ \end{gathered} \right.\)
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm x = ±1 với mọi m nên \((C_m)\) luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên:
\((C_m)\) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
\(⇔ m ≤ \frac{1}{2}\)
Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)
– Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm \(0; ±\sqrt{m}\)
Ta có bảng biến thiên:
\((C_m)\) cắt trục hoành \(⇔ (m – 1)^2 ≥ 0 ⇔ m ≠ 1\)
Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra \((C_m)\) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.
Câu c: Xác định m để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình \(y’ = f'(x) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Giải: Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với m > 0 thì đồ thị \((C_m)\) có cực đại và cực tiểu.
Câu a: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
\(y= -x^4 + 2mx^2 – 2m+1\)
Tập xác định: D = R
\(y’= -4x^3 + 4mx = -4x(x^2 – m)\)
\(y’ = 0 ⇔ -4x(x^2 – m) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 – m = 0\\ \end{gathered} \right.\)
+ Nếu m ≤ 0 thì \(x^2 – m ≥ 0\).
Ta có bảng xét dấu y’:
Hàm số có một điểm cực đại là x = 0.
+ Nếu m > 0 thì \(x^2 – m = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -\sqrt{m} \\ x = \sqrt{m}\\ \end{gathered} \right.\).
Ta có bảng xét dấu y’:
Từ bảng xét dấu ta có hàm số có hai điểm cực đại là \(x = -\sqrt{m}\) và \(x = \sqrt{m}\), hàm số có một điểm cực tiểu là x = 0.
Như vậy:
- Vậy với \(m ≤ 0\) thì hàm số có một cực trị.
- Với \(m > 0\) thì hàm số có ba cực trị.
Câu b: Với giá trị nào của m thì \((C_m)\) cắt trục hoành?
Phương trình \(-x^4 + 2mx^2 – 2m + 1 = 0\) luôn có nghiệm \(x = ± 1\) với mọi m nên \((C_m\)) luôn cắt trục hoành.
Câu c: Xác định m để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu.
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:
với \(m > 0\) thì đồ thị \((C_m\)) có cực đại và cực tiểu.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời