Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(\)\(f(x) = \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2}\)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f”(x) = 0\).
c. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(x^4 – 6x^2 + 3 = m\).
Lời Giải Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2}\)
Phương pháp giải:
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
– Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tại các điểm đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
– Tìm cực trị
– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
– Nêu lưu ý đến tính chẵn, tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Giải:
Xét hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2} (C)\)
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y’ = 2x^3 – 6x = 2x(x^2 – 3)\)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 2x^3 – 6x = 2x(x^2 – 3)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x^2 = 3\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 0 \\ x = ±\sqrt{3}\\ \end{gathered} \right.\)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; -\sqrt{3})\) và \((0; \sqrt{3})\), đồng biến trên khoảng \((-\sqrt{3}; 0)\) và \((\sqrt{3}; +∞)\).
– Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0; y_{CĐ} = \frac{3}{2}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x = -\sqrt{3}\) và \(x = \sqrt{3}; y_{CT} = y(±\sqrt{3}) = -3\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞} = +∞\)
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f”(x) = 0\).
Phương pháp giải: Giải phương trình \(f”(x) = 0\) để tìm \(x_0\). Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) theo công thức: \(y = y'(x_0)(x – x_0) + y(x_0)\).
Giải: Ta có: \(y” = 6x^2 – 6\)
\(⇒ y” = 0 ⇔ 6x^2 – 6 = 0 ⇔ x^2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1\)
Có \(y'(-1) = 4; y'(1) = -4; y(±1) = -1\)
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1, -1) là: \(y = 4(x + 1) – 1 = 4x + 3\)
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (1, -1) là: \(y = -4(x – 1) – 1 = -4x + 3\)
Câu c: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(x^4 – 6x^2 + 3 = m\).
Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng: \(\frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2} = \frac{m}{2}\). Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.
Giải: Ta có: \(x^4 – 6x^2 + 3 = m ⇔ \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2} = \frac{m}{2}\) (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y = \frac{m}{2}\)
Từ đồ thị ta thấy:
\(\frac{m}{2} < -3 ⇔ m < -6\) thì d và (C) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.
\(\frac{m}{2} = -3 ⇔ m = -6\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
\(-3 < \frac{m}{2} < \frac{3}{2} ⇔ -6 < m < 3\) thì d và (C) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.
\(\frac{m}{2} = \frac{3}{2} ⇔ m = 3\) thì d và (C) có 3 điểm chung nên (1) có 3 nghiệm.
\(\frac{m}{2} > \frac{3}{2} ⇔ m > 3\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
Vậy:
- m < – 6 thì phương trình vô nghiệm.
- m = – 6 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm.
- m = 3 thì phương trình có 3 nghiệm.
- – 6 < m < 3 thì phương trình có 4 nghiệm.
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Xét hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2}\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: \(f'(x) = 2x^3 – 6x.\)
\(f'(x) = 0 ⇔ 2x^3 – 6x = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -\sqrt{3} \\ x = 0\\ x = \sqrt{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-\sqrt{3}; 0)\) và \((\sqrt{3}; +∞)\), nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -\sqrt{3})\) và \((0; \sqrt{3})\).
Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại \(y_{CĐ} = y(0) = \frac{3}{2}\)
- Hàm số đạt cực tiểu tại 2 điểm \(x = -\sqrt{3}\) và \(x = \sqrt{3}, y_{CT} = y(-\sqrt{3}) = y(\sqrt{3}) = -3\).
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(\frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2}) = +∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(\frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2}) = +∞\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
Đồ thị cắt Oy tại điểm \((0; \frac{3}{2})\)
Ta có:
\(x = 1 ⇒ y = -1\)
\(x = -2 ⇒ y = -\frac{5}{2}\)
\(x = 2 ⇒ y = -\frac{5}{2}\)
\(x = -1 ⇒ y = -1\)
Câu b: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f”(x) = 0\).
Ta có: \(f”(x) = 6x^2 – 6\)
\(f”(x) = 0 ⇔ 6x^2 – 6 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -1 \\ x = 1\\ \end{gathered} \right.\)
Với \(x = -1 ⇒ f(-1) = -1, f'(-1) = 4\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \((-1; -1)\) là:
\(y = 4(x + 1) – 1 ⇔ y = 4x + 3\)
Với \(x = 1 ⇒ f(1) = -1, f'(1) = -4\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại \((1; -1)\) là:
\(y = -4(x – 1) -1 ⇔ y= -4x + 3\).
Câu c: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(x^4 – 6x^2 + 3 = m\).
Ta có: \(x^4 – 6x^2 + 3 = m ⇔ \frac{1}{2}x^4 – 3x^2 + \frac{3}{2} = \frac{m}{2}\) (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y = \frac{m}{2}\)
Từ đồ thị ta thấy:
- \(m < -6\): ( 1) vô nghiệm
- \(m = -6\): (1) có 2 nghiệm
- \(-6 < m < 3\): (1) có 4 nghiệm
- \(m = 3\): ( 1) có 3 nghiệm
- \(m > 3\): (1) có 2 nghiệm
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời