Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Ôn Tập Chương I
Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(\)\(y = 2x^2 + 2mx + m – 1\) có đồ thị là \((C_m)\), m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).
b. Xác định m để hàm số:
i. Đồng biến trên khoảng \((-1; +∞)\)
ii. Có cực trị trên khoảng \((-1; +∞)\)
c. Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
Phương pháp giải:
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Sự biến thiên của hàm số
– Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y′
+ Tại các điểm đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
– Tìm cực trị
– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
– Nêu lưu ý đến tính chẵn, tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Giải: \(y = 2x^2 + 2mx + m – 1 (C_m)\). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
Với \(m = 1\) ta có hàm số: \(y = 2x^2 + 2x\).
Tập xác định D = R.
* Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 4x + 2 ⇒ y’ = 0 ⇔ 4x + 2 = 0 ⇔ x = -\frac{1}{2}\)
– Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\frac{1}{2}; +∞)\), nghịch biến trên khoảng \((-∞; -\frac{1}{2})\)
– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -\frac{1}{2}; y_{CT} = -\frac{1}{2}\)
– Giới hạn: \(\lim_{x → ±∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị: Đồ thị hàm số giao trục Ox tại hai điểm \((-1; 0)\) và \((0; 0)\)
Cắt Oy tại \((0; 0)\)
Câu b: Xác định m để hàm số:
i. Đồng biến trên khoảng \((-1; +∞)\)
ii. Có cực trị trên khoảng \((-1; +∞)\)
Phương pháp giải:
– Hàm số đồng biến trên \((a; b) ⇔ y’ > 0; ∀x ≠ (a; b)\)
– Hàm số nghịch biến trên \((a; b) ⇔ y’ < 0; ∀x ≠ (a; b)\)
Giải: Tổng quát \(y = 2x^2 + 2mx + m – 1\) có tập xác định D = R.
Có \(y’ = 4x + 2m = 0 ⇒ y’ = 0\)
\(⇔ 4x + 2m = 0 ⇔ x = -\frac{m}{2}\)
Suy ra \(y’ > 0\) với \(x > -\frac{m}{2}; y’ < 0\) với \(x < -\frac{m}{2}\), tức là hàm số nghịch biến trên \((-∞; -\frac{m}{2})\) và đồng biến trên \((-\frac{m}{2}; +∞)\)
i. Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; +∞)\) thì phải có điều kiện \((-1; +∞) ⊂ (-\frac{m}{2}; +∞)\).
\(⇔ -\frac{m}{2} ≤ -1 ≤ m ≥ 2\)
ii. Hàm số đạt cực trị tại \(x = -\frac{m}{2}\)
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng \((-1; +∞)\), ta phải có:
\(\frac{-m}{2} ∈ (-1, +∞)\)
\(⇔ -\frac{m}{2} > -1 ⇔ 1 > \frac{m}{2} ⇔ m < 2\)
Câu c: Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số \((C_m)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m ⇔ y = f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải: \((C_m)\) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt \(x = -\frac{m}{2}\)
⇔ phương trình \(2x^2 + 2mx + m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \(Δ’ = m^2 – 2m + 2 = (m – 1)^2 + 1 > 0; ∀m\)
Vậy \((C_m)\) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt.
Cách khác
Nhận thấy: \(-\frac{m^2}{2} + m – 1 = -\frac{1}{2}(m^2 – 2m + 2) = -\frac{1}{2}(m – 1)^2 – \frac{1}{2} < 0\) vơi mọi m.
Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).
Với \(m = 1\). Ta có hàm số: \(y = 2^2 + 2x\)
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: \(y’ = 4x + 2, y’ = 0 ⇔ 4x + 2 = 0 ⇔ x= -\frac{1}{2}\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên trong khoảng \((-\frac{1}{2}; +∞)\) và nghịch biến trên khoảng \((-∞; -\frac{1}{2})\).
Cực trị hàm số là: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu tại \(y_{CT} = y(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\). Hàm số không có cực đại.
Giới hạn:
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(2x^2 + 2x) = +∞\)
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(2x^2 + 2x) = +∞\)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại các điểm (0; 0) và (-1; 0), cắt Oy tại điểm (0; 0).
\(x = -2 ⇒ y = 4\)
\(x = 1 ⇒ y = 4\)
Câu b: Xác định m để hàm số:
Xét hàm số \(y = 2x^2+ 2mx + m – 1\)
\(y’ = 4x + 2m, y’ = 0 ⇔ 4x + 2m = 0 ⇔ x = -\frac{m}{2}\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
i. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; +∞)\) khi \(-\frac{m}{2} ≤ -1 ⇔ m ≥ 2\).
ii. Hàm số có cực trị trên khoảng \((-1; +∞)\) khi \(-\frac{m}{2} > -1 ⇔ m < 2\).
Câu c: Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Phương trình hoành độ giao điểm của (\(C_m\)) với trục hoành:
\(2{x^2} + 2mx + m – 1 = 0\)
Ta có: \(Δ’ = {m^2} – 2m + 2 = (m – 1)^2 + 1 > 0\), ∀m ∈ R.
Vậy: (\(C_m\)) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Ôn Tập Chương I Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 45 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 46 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 47 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời